Question

11、将所有质数从小到大依次排列为p₁，p₂，p₃，…，证明：当n≥2时，p_n+p_n+1一定可以表示为三个或三个以上的不小于2的正整数（在这些正整数中，允许有相同的数）的乘积．

Answer 1

分析：将所有质数从小到大依次排列为p₁，p₂，p₃，…，首先可从n=2去分析，可得p_n+p_n+1=p₂+p₃=8=2×2×2，即可得p_n+p_n+1可以表示为三个不小于2的正整数的乘积，然后分析n＞2时的情况，可得P_n和P_n+1一定是奇数，然后设P_n=2k+1，P_n+1=2m+1，然后根据不等式的性质可得m+k+1只能是合数，则可得p_n+p_n+1=2k+1+2m+1=2（m+k+1）=2×A×B，则可证得结论正确．

解答：解：∵将所有质数从小到大依次排列为p₁，p₂，p₃，…，
∴当n=2时，p₂=3，p₃=5，
∴p_n+p_n+1=p₂+p₃=8=2×2×2；
∴当n＞2时，P_n和P_n+1一定是奇数（否则可以被2整除，就不是质数了），
∴它们可以表示成2k+1的形式，
∴P_n=2k+1，P_n+1=2m+1，
∴p_n+p_n+1=2k+1+2m+1=2（m+k+1），
∵p_n＜p_n+1，
∴m＞k，
∴m+k+1＞2k+1=P_n，
∴m+k+1＜2m+1=P_n+1，
∵p_n和p_n+1是连续质数，
∴处于它们之间的数m+k+1只能是合数，能被表示为A×B的形式，
∴p_n+p_n+1=2k+1+2m+1=2（m+k+1）=2×A×B，
∴当n≥2时，p_n+p_n+1一定可以表示为三个或三个以上的不小于2的正整数（在这些正整数中，允许有相同的数）的乘积．

点评：此题考查了质数与合数的应用．此题难度较大，解题的关键是掌握质数与合数的性质，注意分类讨论思想的应用．