Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，点E，F分别在AB，AC上，把∠A沿着EF对折，使点A落在BC上点D处，且使ED⊥BC．
（1）猜测AE与BE的数量关系，并说明理由；
（2）求证：四边形AEDF是菱形．

Answer 1

（1）解：AE=BE．理由如下：
Rt△ABC中，∠A=60°，得∠B=30°．
则在Rt△BDE中有DE=BE．
由对折可知AE=DE，则AE=BE．

（2）证明：由∠C=90°，ED⊥BC得DE∥AC，
∴∠DFC=∠EDF=∠A=60°，
∴DF∥AE．
∴四边形AEDF是平行四边形．
又AE=ED，
∴平行四边形AEDF是菱形．
分析：（1）在Rt△ABC中，由直角三角形的性质：两锐角互余得∠B=30°，则在Rt△ADE中有DE=BEsin30°=BE，又由对折可知AE=DE，则AE=BE；
（2）易得DE∥AC，所以∠DFC=∠EDF=∠A=60°，所以DF∥AE．
由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得，四边形AEDF是平行四边形．
又AE=ED，所以邻边相等的平行四边形AEDF是菱形．
点评：本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、直角三角形的性质，平行线的性质，平行四边形和菱形的判定求解．