Question

已知：三角形ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．
（1）如图（1），AB为直径，要使得EF是⊙O的切线，只需保证∠CAE=∠______，并证明之；
（2）如图（2），AB为⊙O非直径的弦，（1）中你所添出的条件仍成立的话，EF还是⊙O的切线吗？若是，写出证明过程；若不是，请说明理由并与同学交流．

Answer 1

【答案】分析：（1）要使EF是⊙O的切线，必须∠BAE=90°，即∠EAC与∠BAC互余．而与∠BAC互余的另一个角ABC就是我们要找的角．
（2）把一般情况转化为特殊情况，即（1）的情形，所以过A作直径．证明的方法和前面一样．
解答：（1）保证∠CAE=∠ABC；
证明：∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠BAC+∠ABC=90°．
若∠CAE=∠ABC．
∴∠BAC+∠CAE=90°，
即∠BAE=90°，OA⊥AE．
∴EF为⊙O的切线．

（2）EF还是⊙O的切线．
证明：连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD，如图，
∴∠ADC=∠ABC．
∵AD为⊙O的直径，
∴∠DAC+∠ADC=90°．
∵∠CAE=∠ABC=∠ADC，
∴∠DAC+∠CAE=90°．
∴∠DAE=90°，
即OA⊥EF
所以EF为⊙O的切线．
点评：熟练掌握切线的判定定理．把证明切线的问题转化为证明线段垂直的问题．在解决数学问题中，要学会运用特殊情形解决一般情形．