Question

如图，△ABC为锐角三角形，△ABC内接于圆O，∠BAC=60°，H是△ABC的垂心，BD是⊙O的直径．
求证：AH=BD．

Answer 1

证明：
连接AD，CD，CH，
∵BD是⊙O直径，
∴∠BAD=∠BCD=90°，
又∠BAC=60°，
∴∠CAD=30°，∠DBC=∠CAD=30°，
在Rt△BCD中，CD=BD，H是△ABC的垂心，AH⊥BC，CH⊥AB，
又DC⊥BC，DA⊥AB，
∴四边形AHCD为平行四边形，
∵AH=CD，
∴AH=BD．
分析：易得△BCD为含30°的直角三角形，则CD=BD，利用H是垂心及直径所对的圆周角是直角可得四边形AHCD是平行四边形，则AH=CD，可得所证．
点评：本题考查了与圆有关的证明，得到四边形AHCD的形状是解决本题的突破点，用到的知识点为：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；两组对边分别平行的四边形是平行四边形．