Question

2．若x=2+$\sqrt{2}$，y=2-$\sqrt{2}$，则（x³-4x²+$\frac{1}{y}$）（y³-4y²+$\frac{1}{x}$）=$\frac{25}{2}$．

Answer 1

分析 先计算出xy=2，利用通分得到原式=$\frac{{x}^{3}y-4{x}^{2}y+1}{y}$•$\frac{x{y}^{3}-4x{y}^{2}+1}{x}$，再把xy=2代入化简得到原式=$\frac{2{x}^{2}-8x+1}{y}$•$\frac{2{y}^{2}-8y+1}{x}$，接着利用完全平方公式由x-2=$\sqrt{2}$，y-2=-$\sqrt{2}$得到（x-2）²=2，（y-2）²=2，则x²-4x=2，y²-4y=2，然后利用整体代入的方法计算．

解答 解：∵x=2+$\sqrt{2}$，y=2-$\sqrt{2}$，
∴xy=4-2=2，
∴原式=$\frac{{x}^{3}y-4{x}^{2}y+1}{y}$•$\frac{x{y}^{3}-4x{y}^{2}+1}{x}$
=$\frac{2{x}^{2}-8x+1}{y}$•$\frac{2{y}^{2}-8y+1}{x}$，
∵x-2=$\sqrt{2}$，y-2=-$\sqrt{2}$，
∴（x-2）²=2，（y-2）²=2，
∴x²-4x=2，y²-4y=2，
∴原式=$\frac{2×2+1}{y}$•$\frac{2×2+1}{x}$
=$\frac{25}{xy}$
=$\frac{25}{2}$．
故答案为$\frac{25}{2}$．

点评 本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．