Question

3．如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm，点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E，G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm²）．
（1）是否存在某一时刻t，使得S的值是矩形ABCD面积的$\frac{1}{6}$？存在，请求出相应的t值；不存在，请说明理由；
（2）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由
（3）在点E，F，G出发后，当t=$\frac{2}{3}$或$\frac{7-\sqrt{17}}{2}$或t=$\frac{10}{3}$或t=3时，△EFG是直角三角形．（填空即可，不必说明理由）

Answer 1

分析 （1）用t分别表示出AE，BE，BF，FC，CG，DG，根据矩形、三角形和梯形的面积公式列出方程，解方程得到答案；
（2）分△EBF∽△FCG和△EBF∽△GCF两种情况根据相似三角形的性质列出关系式求出t值；
（3）分∠EFG=90°和∠EGF=90°两种情况，根据勾股定理列出方程，解方程即可．

解答 解：（1）由题意得，AE=2t，BE=12-2t，BF=4t，FC=8-4t，CG=2t，DG=12-2t，
12×8-$\frac{1}{2}$×（12-2t）×4t-$\frac{1}{2}$×（8-4t）×2t-$\frac{1}{2}$×12×8=12×8×$\frac{1}{6}$，
整理得，t²-4t+4=0，
解得，t₁=t₂=2，
答：2秒后，S的值是矩形ABCD面积的$\frac{1}{6}$；
（2）当△EBF∽△FCG时，
$\frac{BE}{FC}$=$\frac{BF}{CG}$，即$\frac{12-2t}{8-4t}$=$\frac{4t}{2t}$，
解得，t=$\frac{2}{3}$，
当△EBF∽△GCF时，
$\frac{EB}{FC}$=$\frac{BF}{FC}$，即$\frac{12-2t}{2t}$=$\frac{4t}{8-4t}$，
解得，t=$\frac{3}{2}$，
∴当t=$\frac{2}{3}$或$\frac{3}{2}$时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似；
（3）作EH∥AD交DC于H，
则DH=2t，HG=12-4t，
由勾股定理得，EG²=64+（12-4t）²=16t²-96t+208，
EF²=（12-2t）²+（4t）²=20t²-48t+144，
GF²=（8-4t）²+（2t）²=20t²-64t+64，
当∠EFG=90°时，20t²-48t+144+20t²-64t+64=16t²-96t+208，
解得t₁=0（舍去），t₂=$\frac{2}{3}$，
当∠EGF=90°时，20t²-48t+144=20t²-64t+64+16t²-96t+208，
解得t₁=$\frac{7-\sqrt{17}}{2}$，t₂=$\frac{7+\sqrt{17}}{2}$（舍去）．
当点F在CD边上时，
∠EFG=90°时，BE=CF，即12-2t=4t-8，
解得，t=$\frac{10}{3}$，
∠EGF=90°时，BE=CF，即2t=12-2t，
解得，t=3，
∴当t=$\frac{2}{3}$或$\frac{7-\sqrt{17}}{2}$或t=$\frac{10}{3}$或t=3时，△EFG是直角三角形，
故答案为：$\frac{2}{3}$或$\frac{7-\sqrt{17}}{2}$或t=$\frac{10}{3}$或t=3．

点评 本题考查的是矩形的性质、相似三角形的性质和一元二次方程的应用，掌握相关的性质和定理、正确解出方程是解题的关键．注意分情况讨论思想的正确运用．