Question

【题目】如图，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，F为EC的中点，连接AF．写出AF与BD的数量关系和位置关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】AF＝BD，AF⊥BD，理由见解析.

【解析】

过点C作CG∥AE交直线AF于G，直线AF交BD于H，证明△CGF≌△EAF（AAS），得出CG=AE，AF=GF，得出AF=AG，证明△BAD≌△ACG（SAS），得出BD=AG，∠ABD=∠CAG，进而得出结论．

AF=BD，AF⊥BD，理由如下：

过点C作CG∥AE交直线AF于G，直线AF交BD于H，如图所示：
则∠G=∠EAF，∠EAC+∠ACG=180°，
∵F为EC的中点，
∴CF=EF，
在△CGF和△EAF中，

，
∴△CGF≌△EAF（AAS），
∴CG=AE，AF=GF，
∴AF=AG，
∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，
∴AB=AC，AD=AE，∠EAC+∠BAD=360°-90°-90°=180°，∠CAG+∠BAH=90°，
∴AD=CG，∠BAD=∠ACG，
在△BAD和△ACG中，

，
∴△BAD≌△ACG（SAS），
∴BD=AG，∠ABD=∠CAG，
∴AF=BD，∠ABD+∠BAH=90°，
∴AF⊥BD．