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精英家教网如图,经过点M(-1,2),N(1,-2)的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点.
(1)求b的值.
(2)若OC2=OA•OB,试求抛物线的解析式.
(3)在该抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PAC的周长最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
分析:(1)根据题意可知,将点M,N的坐标代入函数解析式列的方程组,解方程组即可求得b的值;
(2)根据(1)可求得仅有一个未知系数的解析式y=ax2-2x-a,根据已知得:OC=a,OA=-x1,OB=x2,所以根据根与系数的关系,列方程求得a的值,求得二次函数的解析式;
(3)首先要确定点P的位置,即找到点A关于对称轴的对称点B,直线BC与函数对称轴的交点即是所求的P点;求得直线BC的解析式即可求得点P的坐标.
解答:精英家教网解:(1)将M,N两点的坐标代入抛物线解析式,得
a-b+c=2,①
a+b+c=-2.②

②-①,得
2b=-4
∴b=-2.

(2)由(1)b=-2,a+c=0
所以抛物线的解析式可写为y=ax2-2x-a
则C(0,-a)
设A(x1,0),B(x2,0)
则x1,x2是方程ax2-2x-a=0的二根
从而x1x2=-1
由所给图形可知OC=a,OA=-x1,OB=x2
∵OC2=OA•OB
∴a2=-x1x2
∴a2=1
∴a=1(a>0)
∴抛物线解析式为y=x2-2x-1.

(3)在抛物线对称轴上存在点P,使△PAC的周长最小.
∵AC长为定值
∴要使△PAC的周长最小,只需PA+PC最小
∵点A关于对称轴x=1的对称点是B,由几何知识知PA+PC=PB+PC,BC与对称轴的交点为所求点P.
由(2)知B(
2
+1,0),C(0,-1),经过点B(
2
+1,0),C(0,-1)的直线为y=(
2
-1)x-1,
当x=1时,y=
2
-2.
即P(1,
2
-2).
点评:此题考查了二次函数的综合知识,要注意待定系数法求函数解析式,还要注意根与系数的关系,解题的关键是要注意数形结合思想的应用.
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1
2
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1
2
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7
2
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3
2
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