Question

14．如果一个自然数可以表示为两个连续奇数的立方差，那么我们就称这个自然数为“麻辣数”．如：2=1³-（-1）³，26=3³-1³，所以2、26均为“麻辣数”．
【立方差公式a³-b³=（a-b）（a²+ab+b²）】
（1）请判断98和169是否为“麻辣数”，并说明理由；
（2）在小组合作学习中，小明提出新问题：“求出在不超过2016的自然数中，所有的‘麻辣数’之和为多少？”小组的成员胡图图略加思索后说：“这个难不倒图图，我们知道奇数可以用2k+1表示…，再结合立方差公式…”，请你顺着胡图图的思路，写出完整的求解过程．

Answer 1

分析 （1）根据相邻两个奇数的立方差，可得答案；
（2）根据相邻两个奇数的立方差，麻辣数的定义，可得答案．

解答 解：设k为整数，则2k+1、2k-1为两个连续奇数，
设M为“麻辣数”，
则M=（2k+1）³-（2k-1）³=24k²+2；
（1）98=5³-3³，故98是麻辣数；M=24k²+2是偶数，故169不是麻辣数；
（2）令M≤2016，则24k²+2≤2016，
解得k²≤$\frac{1007}{12}$＜84，
故k²=0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，
故M的和为24×（0+1+4+9+16+25+36+49+64+81）+2×10=6860．

点评 本题考查了平方差公式，利用平方差公式是解题关键．