Question

已知关于x的方程x²-（k+1）x+k ²+1=0
（1）若方程有两个实数根，求k的取值范围．
（2）是否存在k值，使方程的两个实根互为倒数？若存在求出k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）∵关于x的方程x²-（k+1）x+k ²+1=0的一次项系数a=1，二次项系数b=-（k+1），常数项c=k ²+1，
∴△=b²-4ac=[-（k+1）²-4×1×（k ²+1）≥0，即2k-3≥0，
解得，k≥；

（2）不存在．理由如下：
设关于x的方程x²-（k+1）x+k ²+1=0的两根为x₁，x₂，则x₁•x₂=k ²+1=1，
解得，k=0．
∵k≥，
∴k=0不符合题意，
∴这样的k的值不存在．
分析：（1）方程有两个实数根，则一元二次方程x²-（k+1）x+k ²+1=0的根的判别式△≥0，据此可以求得k的取值范围；
（2）利用根与系数的关系知•==1，据此列出关于k的方程，通过解方程来求k的值．
点评：本题考查了根与系数的关系，根的判别式．注意，在利用根的判别式△=b²-4ac时，一定要弄清楚该公式中的字母a、b、c分别表示的含义．