【题目】(1)如图1,四边形ABCD为正方形,BF⊥AE,那么BF与AE相等吗?为什么?
(2)如图2,在Rt△ABC中,BA=BC,∠ABC=90°,D为BC边的中点,BE⊥AD于点E,交AC于F,求AF:FC的值;
(3)如图3,Rt△ACB中,∠ABC=90°,D为BC边的中点,BE⊥AD于点E,交AC于F,若AB=3,BC=4,求CF.
【答案】(1)BF=AE,理由见详解 (2)AF:FC=2:1 (3)CF=.
【解析】
(1)先判断出AB=AD,再利用同角的余角相等,判断出∠ABF=∠DAE,进而得出△ABF△DAE,即可得出结论;
(2)构造出正方形,同(1)的方法得出△ABD≌△CBG,进而得出CG=AB,再判断出△AFB∽△CFG,即可得出结论;
(3)先构造出矩形,同(1)的方法得,∠BAD=∠CBP,进而判断出△ABD∽△BCP,即可求出CP,再同(2)的方法判断出△CFP∽△AFB,建立方程即可得出结论.
解:(1)BF=AE,理由:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠BAD=∠D=90°,
∴∠BAE+∠DAE=90°;
∵AE⊥BF,
∴∠BAE+∠ABF=90°,
∴∠ABF=∠DAE;
在△ABF和△DAE中,
,
∴△ABF△DAE,
∴BF=AE.
(2)如图2:
过点A作AM‖BC, 过点C作CM‖AB,两线相较于M,延长BF交CM于G,
∴四边形ABCM是平行四边形,
∵∠ABC=90°,
∴平行四边形ABCM是矩形,
∵AB=BC,
∴矩形ABCM是正方形,
∴AB=BC=CM;
同(1)的方法得,△ABD△CBG,
∴CG=BD;
又∵D为BC边的中点,
∴BD=BC=CM,
∴CG=CMAB;
∵AB‖CM,
∴△AFB△CFG,
∴==2.
(3)如图3:
在Rt△ACB中,AB=3,BC=4,
∴AC=5,
∵点D是BC的中点,
∴BD=BC=2;
过点A作AN‖BC, 过点C作CN∥AB,两线相较于N,延长BF交CN于P,
∴四边形ABCN是平行四边形,
∵∠ABC=90°,
∴平行四边形ABCN是矩形,
同(1)的方法得,∠BAD=∠CBP,
∵∠ABD=∠BCP=90°,
∴△ABD△BCP,
∴=,
∴=,
∴CP=;
同(2)的方法得:△CFP△AFB,
∴=,
∴=,
∴CF=.
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【题目】如图,四边形ABCD中,∠C=90°,AD⊥DB,点E为AB的中点,DE∥BC.
(1)求证:BD平分∠ABC;
(2)连接EC,若∠A=30°,DC,求EC的长.
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【题目】某中学为丰富学生的校园生活,准备从体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球(每个足球的价格相同,每个篮球的价格相同),若购买3个足球和2个篮球共需310元,购买2个足球和5个篮球共需500元。
(1)求购买一个足球、一个篮球各需多少元?
(2)根据学校实际情况,需从体育用品商店一次性购买足球和篮球共96个,要求购买足球和篮球的总费用不超过5720元,这所中学最多可以购买多少个篮球?
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=x+2与x轴交于点A,与y轴交于点C.抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣且经过A、C两点,与x轴的另一交点为点B.
(1)①直接写出点B的坐标;②求抛物线解析式.
(2)若点P为直线AC上方的抛物线上的一点,连接PA,PC.求△PAC的面积的最大值,并求出此时点P的坐标.
(3)抛物线上有一点M,过点M作MN垂直x轴于点N,使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似,直接写出点M的坐标.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3,0)和点B(2,3),过点A的直线与y轴的负半轴相交于点C,且tan∠CAO=.
(1)求这条抛物线的表达式及对称轴;
(2)联结AB、BC,求∠ABC的正切值;
(3)若点D在x轴下方的对称轴上,当S△DBC=S△ADC时,求点D的坐标.
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【题目】中国海军亚丁湾护航十年,中国海军被亚丁湾上来往的各国商船誉为“值得信赖的保护伞”.如图,在一次护航行动中,我国海军监测到一批可疑快艇正快速向护航的船队靠近,为保证船队安全,我国海军迅速派出甲、乙两架直升机分别从相距40海里的船队首(点)尾(点)前去拦截,8分钟后同时到达点将可疑快艇驱离.己知甲直升机每小时飞行180海里,航向为北偏东,乙直升机的航向为北偏西,求乙直升机的飞行速度(单位:海里/小时).
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【题目】如图,直线y=2x与函数y=(x>0)的图象交于点A(1,2).
(1)求m的值;
(2)过点A作x轴的平行线l,直线y=2x+b与直线l交于点B,与函数y=(x>0)的图象交于点C,与x轴交于点D.
①若点C是线段BD的中点时,则点C的坐标是________,b的值是________;
②当BC>BD时,直接写出b的取值范围________.
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【题目】如图,为了测出旗杆AB的高度,在旗杆前的平地上选择一点C,测得旗杆顶部A的仰角为45°,在C、B之间选择一点D(C、D、B三点共线),测得旗杆顶部A的仰角为75°,且CD=8m.
(1)求点D到CA的距离;
(2)求旗杆AB的高.
(注:结果保留根号)
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