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【题目】如图1,在正方形ABCD中,EAD的中点,GF分别为ABCD边上的点,∠GEF=90°

1)若∠AGE=50°,求∠DFE的度数;

2)若AG=2DF=3,求GF的长;

3)拓展研究:

如图2,在四边形ABCD中,∠A=105°D=120°EAD的中点,GF分别为ABCD边上的点,若AG=3DF=2GEF=90°,求GF的长.

【答案】1DFE=40°;(2GF=5;(3GF=

【解析】试题分析:1)由正方形的性质得到∠A=∠D=90°由∠AGE=50°,得到∠GEA的度数.由∠GEF=90°,得到∠FED的度数.再由直角三角形两锐角互余即可得到结论;

2)延长GEFD交于点H,可证得AEG≌△DEH,结合条件可证明EF垂直平分GH,可得GF=FH,可求得GF的长;

3)过点DAB的平行线交GE的延长线于点H,过HCD的垂线,垂足为P,连接HF,可证明AEG≌△DEH,结合条件可得到HPD为等腰直角三角形,可求得PF的长,在Rt△HFP中,可求得HF,则可求得GF的长.

试题解析:解:1∵ABCD是正方形,∴A=∠D=90°AGE=50°∴∠GEA=90°50°=40°GEF=90°∴∠GEA+∠FED=90°∴∠FED=90°40°=50°∵∠D=90°∴∠DFE=90°50°=40°

2)如图2,延长GEFD交于点HEAD中点,EA=ED,且A=∠EDH=90°AEGDEH∵∠A=∠HDEEA=EDAEG=∠HED∴△AEG≌△DEHASA),AG=HD=2EG=EH∵∠GEF=90°EF垂直平分GHGF=HF=DH+DF=2+3=5

3)如图3,过点DAB的平行线交GE的延长线于点H,过HCD的垂线,垂足为P,连接HF同(1)可知AEG≌△DEHGF=HF∴∠A=HDE=105°AG=HD=3∵∠ADC=120°∴∠HDF=360°105°120°=135°∴∠HDP=45°∴△PDH为等腰直角三角形,PD=PH=PF=PD+DF==RtHFP中,HPF=90°HP=PF=HF===GF=

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1)参加音乐类活动的学生人数为 人,参加球类活动的人数的百分比为

2)请把图2(条形统计图)补充完整;

3)该校学生共600人,则参加棋类活动的人数约为

4)该班参加舞蹈类活动的4位同学中,有1位男生(用E表示)和3位女生(分别用FGH表示),先准备从中选取两名同学组成舞伴,请用列表或画树状图的方法求恰好选中一男一女的概率.

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