【题目】如图1,在正方形ABCD中,E为AD的中点,G、F分别为AB、CD边上的点,∠GEF=90°.
(1)若∠AGE=50°,求∠DFE的度数;
(2)若AG=2,DF=3,求GF的长;
(3)拓展研究:
如图2,在四边形ABCD中,∠A=105°,∠D=120°,E为AD的中点,G、F分别为AB、CD边上的点,若AG=3,DF=2,∠GEF=90°,求GF的长.
【答案】(1)∠DFE=40°;(2)GF=5;(3)GF=.
【解析】试题分析:(1)由正方形的性质得到∠A=∠D=90°,由∠AGE=50°,得到∠GEA的度数.由∠GEF=90°,得到∠FED的度数.再由直角三角形两锐角互余即可得到结论;
(2)延长GE、FD交于点H,可证得△AEG≌△DEH,结合条件可证明EF垂直平分GH,可得GF=FH,可求得GF的长;
(3)过点D作AB的平行线交GE的延长线于点H,过H作CD的垂线,垂足为P,连接HF,可证明△AEG≌△DEH,结合条件可得到△HPD为等腰直角三角形,可求得PF的长,在Rt△HFP中,可求得HF,则可求得GF的长.
试题解析:解:(1)∵ABCD是正方形,∴∠A=∠D=90°,∵∠AGE=50°,∴∠GEA=90°-50°=40°.∵∠GEF=90°,∴∠GEA+∠FED=90°,∴∠FED=90°-40°=50°.∵∠D=90°,∴∠DFE=90°-50°=40°.
(2)如图2,延长GE、FD交于点H.∵E为AD中点,∴EA=ED,且∠A=∠EDH=90°.在△AEG和△DEH中,∵∠A=∠HDE,EA=ED,∠AEG=∠HED,∴△AEG≌△DEH(ASA),∴AG=HD=2,EG=EH.∵∠GEF=90°,∴EF垂直平分GH,∴GF=HF=DH+DF=2+3=5;
(3)如图3,过点D作AB的平行线交GE的延长线于点H,过H作CD的垂线,垂足为P,连接HF.同(1)可知△AEG≌△DEH,GF=HF,∴∠A=∠HDE=105°,AG=HD=3.∵∠ADC=120°,∴∠HDF=360°﹣105°﹣120°=135°,∴∠HDP=45°,∴△PDH为等腰直角三角形,∴PD=PH=,∴PF=PD+DF==.在Rt△HFP中,∠HPF=90°,HP=,PF=,∴HF===,∴GF=.
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【题目】据统计,1980年世界人口的分布状况是:亚洲25.8亿人,欧洲7.5亿人,非洲4.6亿人,拉丁美洲3.5亿人,北美洲2.4亿人,大洋洲0.2亿人,全球合计44.0亿人.
(1)请制作一张统计图描述以上统计数据.
(2)请根据统计表格中的数据制作扇形统计图.
(3)从以上统计图、表中,你能得到哪些信息.
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【题目】观察下列算式,你发现了什么规律?
12=;12+22=;12+22+32 =; 12+22 +32 + 42 =;…
1)你能用一个算式表示这个规律吗?
2)根据你发现的规律,计算下面算式的值;
12+22 +32 + … +82
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【题目】已知关于x的方程(x-3)(x-2)-p2=0.
(1)求证:无论p取何值时,方程总有两个不相等的实数根;
(2)设方程两实数根分别为x1、x2,且满足x12+x22=3 x1x2,求实数p的值.
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【题目】如图,矩形ABCD中,∠ABD、∠CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于点E、F.
(1)求证:四边形BEDF是平行四边形;
(2)当∠ABE为多少度时,四边形BEDF是菱形?请说明理由.
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【题目】为了解某校落实新课改精神的情况,现以该校九年级二班的同学参加课外活动的情况为样本,对其参加“球类”、“绘画类”、“舞蹈类”、“音乐类”、“棋类”活动的情况进行调查统计,并绘制了如图所示的统计图.
(1)参加音乐类活动的学生人数为 人,参加球类活动的人数的百分比为 ;
(2)请把图2(条形统计图)补充完整;
(3)该校学生共600人,则参加棋类活动的人数约为 ;
(4)该班参加舞蹈类活动的4位同学中,有1位男生(用E表示)和3位女生(分别用F,G,H表示),先准备从中选取两名同学组成舞伴,请用列表或画树状图的方法求恰好选中一男一女的概率.
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