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(2006•济南)如图1,以矩形OABC的两边OA和OC所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,A点的坐标为(3,0),C点的坐标为(0,4).将矩形OABC绕O点逆时针旋转,使B点落在y轴的正半轴上,旋转后的矩形为OA1B1C1,BC,A1B1相交于点M.
(1)求点B1的坐标与线段B1C的长;
(2)将图1中的矩形OA1B1C1沿y轴向上平移,如图2,矩形PA2B2C2是平移过程中的某一位置,BC,A2B2相交于点M1,点P运动到C点停止.设点P运动的距离为x,矩形PA2B2C2与原矩形OABC重叠部分的面积为y,求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;
(3)如图3,当点P运动到点C时,平移后的矩形为PA3B3C3.请你思考如何通过图形变换使矩形PA3B3C3与原矩形OABC重合,请简述你的做法.

【答案】分析:(1)用勾股定理求矩形OABC的对角线OB长,得点B1的坐标;B1C=B1O-OC;
(2)求分段函数,以A2落在BC上的时刻为界,将函数分为两段,画出图形,分别求函数解析式;
(3)属于开放性问题,解法多种,主要是围绕旋转,平移轴对称解题.
解答:解:(1)如图1,因为OB1=OB==5,
所以点B1的坐标为(0,5).
因为C(0,4),所以OC=4,
则B1C=OB1-OC=5-4=1.

(2)在矩形OA1B1C1沿y轴向上平移到P点与C点重合的过程中,点A1运动到矩形OABC的边BC上时,
重叠部分的面积为三角形PA2C的面积,A2C==,又A2P=3,
根据勾股定理得:CP=,即4-x=
求得P点移动的距离
当自变量x的取值范围为0≤x<时,
如图2,由△B2CM1∽△B2A2P,
得CM1=,此时,y=S△B2A2P-S△B2CM1=×3×4-×(1+x),
即y=-(x+1)2+6(或y=-x2-x+).
当自变量x的取值范围为≤x≤4时,
求得y=S△PCM1′=(x-4)2(或y=x2-x+).

(3)答案:
①把矩形PA3B3C3沿∠BPA3的角平分线所在直线对折.
②把矩形PA3B3C3绕C点顺时针旋转,使点A3与点B重合,再沿y轴向下平移4个单位长度.
③把矩形PA3B3C3绕C点顺时针旋转,使点A3与点B重合,再沿BC所在的直线对折.
④把矩形PA3B3C3沿y轴向下平移4个单位长度,再绕O点顺时针旋转,使点A3与点A重合.
提示:本问只要求整体图形的重合,不必要求图形原对应点的重合.
点评:本题主要考查图形的旋转、平移、折叠变换知识,是一道动态问题.
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(3)如图3,当点P运动到点C时,平移后的矩形为PA3B3C3.请你思考如何通过图形变换使矩形PA3B3C3与原矩形OABC重合,请简述你的做法.

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