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    7．如图，四边形ABCD是矩形，AB=6，BC=8，点E在线段AD上，把△ABE沿直线BE翻折，点A落在点A′，EA′的延长线交BC于点F，
    （1）如图（1），求证：FE=FB；
    （2）当点E在边AD上移动时，点A′的位置也随之变化，
    ①当点A′恰好落在线段BD上时，如图（2），求AE的长；
    ②在运动变化过程中，设AE=x，CF=y，求y与x的函数关系式，试判断EF能否平分矩形ABCD的面积？若能，求出x的值；若不能，则说明理由；
    （3）当点E在边AD上运动时，点D与点A′之间的距离也随之变化，请直接写出点D与点A′之间距离的变化范围．

    分析 （1）证明∠AEB=∠A′EB，∠AEB=∠EBF，得到∠A′EB=∠EBF，证明结论；
    （2）①根据相似三角形的判定证明△DA′E∽△DAB，得到成比例线段，代入已知的值，求出AE的长；
    ②根据勾股定理，得到y与x的关系式；假设EF能平分矩形ABCD的面积，进行计算，然后判断即可；
    （3）根据当A′在BD上时，A′D最小，当E与A重合时，A′D最大，确定点D与点A′之间距离的变化范围．

    解答 （1）证明：∵△A′BE由△ABE翻折而得∴∠AEB=∠A′EB，
    ∵四边形ABCD为矩形，
    ∴AD∥BC，
    ∴∠AEB=∠EBF，
    ∴∠A′EB=∠EBF，
    ∴FE=FB．
    （2）解：①由（1）得：∠EA′D=90°，A′E=AE，
    设AE=x，则A′E=x，ED=8-x，
    在△DA′E与△DAB中，
    ∠A′DE=∠ADB，∠DA′E=∠A=90°，
    ∴△DA′E∽△DAB，
    ∴$\frac{A′E}{DE}$=$\frac{AB}{BD}$，
    在R t△ABD中，∵AB=6，AD=8，
    ∴BD=10，
    ∴$\frac{x}{8-x}$=$\frac{6}{10}$，
    解得，x=3，
    ∴AE=3．
    ②在Rt△A′BF中，BF=8-y，
    则A′F=8-y-x，又A′B=6，
    由勾股定理得：62+（8-y-x）2=（8-y）2，
    即y=8-$\frac{x}{2}$-$\frac{18}{x}$．
    当EF能平分矩形ABCD的面积时，y=x，
    则x=8-$\frac{x}{2}$-$\frac{18}{x}$，
    整理得：3x2-16x+36=0，
    ∵-162-4×3×36＜0，
    ∴方程无解，
    ∴不存在EF平分矩形ABCD的面积．
    （3）解：由题意得，当A′在BD上时，A′D最小，
    由①得，A′E=AE=3，DE=8-3=5，
    由勾股定理，A′D=4，
    即A′D最小值为4，
    当E与A重合时，A′D最大为8，
    ∴4≤A′D≤8．

    点评 本题考查的是矩形的性质、翻折变换、相似三角形的判定和性质、二次函数解析式的确定和勾股定理的应用，掌握翻折变换的性质、找出对应相等的线段和角是解题的关键，注意各个性质定理的灵活运用．

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