Question

13．正方形ABCD的面积为18，△ABE是等边三角形，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为3$\sqrt{2}$或3+3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由于点B与D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为P点．此时PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为18，可求出AB的长，从而得出结果．

解答 解：①点E在正方形ABCD内，如图1，连接BD，与AC交于点F．
∵点B与D关于AC对称，
∴PD=PB，
∴PD+PE=PB+PE=BE最小．
∵正方形ABCD的面积为18，
∴AB=3$\sqrt{2}$．
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=3$\sqrt{2}$．
②点E在正方形ABCD外，如图2，连接DE交AC于P，
则PE+PD=DE最小，
连接BD，过B作BF⊥DE于F，
∵四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，
∴∠EAB=60°，∠BAD=90°，AE=AB=AD，
∴∠AED=∠ADE=15°，
∴∠BED=45°，∠BDE=30°，
∵正方形ABCD的面积为18，
∴AB=3$\sqrt{2}$，
∴BE=3$\sqrt{2}$，BD=6，
∴EF=BF=3，DF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BD=3$\sqrt{3}$，
∴DE=3+3$\sqrt{3}$，
∴PD+PE的和最小值为3$\sqrt{2}$或3+3$\sqrt{3}$．
故答案为：3$\sqrt{2}$或3+3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知正方形的性质及等边三角形的性质是解答此题的关键．