Question

【题目】直线y＝kx+3和x轴、y轴的交点分别为B、C，∠OBC＝30°，点A的坐标是（，0），另一条直线经过点A、C．

（1）求点B的坐标及k的值；

（2）求证：AC⊥BC；

（3）点M为直线BC上一点（与点B不重合），设点M的横坐标为x，△ABM的面积为S．

①求S与x的函数关系式；

②当S＝6时，求点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）B（3，0），k＝﹣；（2）见解析；（3）①S＝；②点M的坐标为（0，3）或（6，-3）．

【解析】

（1）直线y=kx+3和y轴的交点为C，则点C（0，3），则BC=6，OB=3，则点B（3，0），即可求解；
（2）OA=，OC=3，则AC=2，则∠ACO=30°，即可求解；
（3）①点M（x，-x+3），S=×AB×|yM|即可求解；

②将S=6代入①中的函数关系式，即可求解．

解：（1）直线y=kx+3和y轴的交点为C，则点C（0，3），
则BC=6，OB=3，
则点B（3，0），
将点B的坐标代入y=kx+3得：0=3k+3，
解得：k= -；

（2）在Rt△AOC中，OA＝，OC＝3，由勾股定理得AC＝2，

∴∠ACO＝30°，

∵∠OBC＝30°，

∴∠BCO＝60°，

∴∠ACB＝∠ACO+∠BCO＝90°，

∴AC⊥BC；

（3）①直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，则点M（x，﹣x+3），

S＝×AB×|yM|＝×4×|﹣x+3|，即：S＝；

②当S＝6时，

∵S＝

∴或

解得：x=0或x=6，

故点M的坐标为（0，3）或（6，-3）．