Question

【题目】如图，菱形OABC，A点的坐标为（5，0），对角线OB、AC相交于D点，双曲线y＝（x＞0）经过D点，交BC的延长线于E点，交AB于F点，连接OF交AC于M，且OBAC＝40．有下列四个结论：①k＝8；②CE＝1；③AC+OB＝6；④S△AFM：S△AOM＝1：3．其中正确的结论是（　　）

A. ①②B. ①③C. ①②③D. ①②③④

Answer 1

【答案】D

【解析】

首先过点D作DH⊥x轴于点H，由菱形OABC中，ACOB=40，可求得菱形OABC的面积，继而求得△AOD的面积，则可求得高DH，然后由射影定理，可得DH2=OHAH，继而求得①正确；过C作CG⊥x轴于点G，根据平行线等分线段定理和三角形的中位线的性质得到CG=2DH=4，AG=2AH=2，求得C（3，4），E（2，4），于是得到CE=1，故②正确；根据勾股定理得到AC+OB=6；故③正确；过F作FN⊥x轴于点N，设FN=4x，AN=3x，根据三角形的面积公式得到x=，根据相似三角形的性质得到，于是得到S△AFM：S△AOM=1：3，故④正确．

解：过点D作DH⊥x轴于点H，

∵菱形OABC中，ACOB＝40，

∴S菱形OABC＝ACOB＝20，

∴S△OAD＝S菱形OABC＝5，

∵S△OAD＝OADH，且OA＝5，

∴DH＝2，

∵DH2＝OHAH＝4，OH+AH＝5，

∴OH＝4，AH＝1，

∴点D（4，2），

∴k＝4×2＝8．故①正确；

过C作CG⊥x轴于点G，

∴DH∥CG，

∵AD＝CD，

∴CG＝2DH＝4，AG＝2AH＝2，

∴OG＝3，

∴C（3，4），

∴E（2，4），

∴CE＝1，故②正确；

∵CG＝4，AG＝2，

∴AC＝＝2，

∵DH＝2，OH＝4，

∴OD＝2，

∴OB＝4，

∴AC+OB＝6；故③正确；

过F作FN⊥x轴于点N，

∵OC∥AB，

∴∠COG＝∠FAN，

∴tan∠COG＝tan∠FAN＝＝＝，

设FN＝4x，AN＝3x，

∴S△OFN＝（5+3x）×4x＝4，

∴x＝，

∴FN＝，AN＝1，

∵△OCG∽△AFN，

∴＝3，

∵OC∥AF，

∴△AMF∽△CMO，

∴＝3，

∴S△AFM：S△AOM＝1：3，故④正确，

故选：D．