Question

在△ABC中，∠C＞∠B，AE是△ABC中∠BAC的平分线；
（1）若AD是△ABC的BC边上的高，且∠B=30°，∠C=70°（如图1），求∠EAD的度数；
（2）若F是AE上一点，且FG⊥BC，垂足为G（如图2），求证：∠EFG=

∠C-∠B

2

；
（3）若F是AE延长线上一点，且FG⊥BC，G为垂足（如图3），②中结论是否依然成立？请给出你的结论，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据三角形内角和定理得∠A=180°-30°-70°=80°，再根据角平分线定义得∠EAC=

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2

×80°=40°，由AD是△ABC的BC边上的高，得∠ADC=90°，计算出∠DAC=90°-70°=20°，
则∠EAD=∠EAC-∠DAC=40°-20°=20°；
（2）根据三角形内角和定理得∠A=180°-∠B-∠C，再根据角平分线定义得∠EAC=

1

2

（180°-∠B-∠C）=90°-

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2

（∠B+∠C），而∠DAC=90°-∠C，可计算得∠EAD=∠EAC-∠DAC=90°-

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2

（∠B+∠C）-90°+∠C=

1

2

（∠C-∠B），然后利用平行线的性质得到结论；
（3）与（2）证明方法一样．

解答：（1）解：∵∠B=30°，∠C=70°，
∴∠A=180°-30°-70°=80°，
∵AE是△ABC中∠BAC的平分线，
∴∠EAC=

1

2

×80°=40°，
∵AD是△ABC的BC边上的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=90°-70°=20°，
∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=40°-20°=20°；

（2）证明：过A点作高AD，如图，
∠A=180°-∠B-∠C，
∵AE是△ABC中∠BAC的平分线，
∴∠EAC=

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2

（180°-∠B-∠C）=90°-

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2

（∠B+∠C），
而∠DAC=90°-∠C，
∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=90°-

1

2

（∠B+∠C）-90°+∠C=

1

2

（∠C-∠B），
∵FG⊥BC，
∴∠EFG=∠EAD，
∴∠EFG=

1

2

（∠C-∠B）；

（3）②中结论依然成立．理由如下：过A点作高AD，如图，
在（2）中得到∠EAD=

1

2

（∠C-∠B），
∵FG⊥BC，
∴∠EFG=∠EAD，
∴∠EFG=

1

2

（∠C-∠B）．

点评：本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°．也考查了三角形外角性质以及三角形的高、角平分线．