Question

进价为每件40元的某商品，售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果每件的售价每下降1元，每星期可多卖出20件，但售价不能低于每件45元．设每件降价x元（x为正整数）．
（1）设每星期的销售量为y件，求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）如何定价才能使每星期的利润最大？并求出每星期的最大利润．

Answer 1

解：（1）由题意得出：y=300+20x，
，
∴0≤x≤15，
∴所求的函数关系式为：y=300+20x（0≤x≤15）；

（2）设第星期的利润为W元，
W=（60-x）（300+20x）-40×（300+20x）
=，
当x=2.5时，W有最大值为6125元．
∵x为正整数，当x=2时，60-x=58，W=6120元；
当x=3时，60-x=57，W=6120元；
∴当售价为58元或57元时，每星期的利润最大，最大利润为6120元．
分析：（1）用原来的销售量加上增加的销售量即可求出y与x的函数关系式，再根据售价不能低于每件45元，x为正整数，即可求出x的取值范围；
（2）根据销售利润=销售量×（售价-进价），列出平均每天的销售利润w（元）与降价x元之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．
点评：此题主要考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值在x=-时取得．