【题目】定义:如果一个y与x的函数图象经过平移后能与某反比例函数的图象重合,那么称这个函数是y与x的“反比例平移函数”.例如:y=+1的图象向左平移2个单位,再向下平移1个单位得到y=的图象,则y=+1是y与x的“反比例平移函数”.
(1)若(x+3)(y+2)=8,求y与x的函数表达式,并判断这个函数是否为“反比例平移函数”?
(2)如图,在平面直角坐标系中,点O为原点,矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为(9,0)、(0,3),点D是OA的中点,连接OB、CD交于点E,“反比例平移函数”y=的图象经过B、E两点,则这个“反比例平移函数”的表达式为 ;这个“反比例平移函数”的图象经过适当的变换与某一个反比例函数的图象重合,请写出这个反比例函数的表达式 .
(3)在(2)的条件下,已知过线段BE中点的一条直线l交这个“反比例平移函数”图象于P、Q两点(P在Q的右侧),若B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为16,请求出点P的坐标.
【答案】(1)y=﹣2,是“反比例平移函数”;(2)y=2+,y=;(3)点P的坐标为:(7,5)或(15,).
【解析】
(1)将已知式变形用x表示y,再由“反比例平移函数”的定义即可判断;
(2)故点E(3,1),将B、E的坐标代入y=,即可求解;
(3)由(2)可知是的“反比例平移函数”,而且E点与B点是两函数的对应点,线段BE的中点F为由反比例函数对称中心,得四边形PEQB为平行四边形.四边形PEQB的面积为16,S△PFB=4,利用平移对应关系先在求P1(P的对应点),即可求出P点坐标.
解:(1),则,
该函数图象向右平移3个单位,再向上平移2个单位得到的图象,
故:函数是“反比例平移函数”;
(2)点A、C的坐标分别为、,点D是OA的中点,则点,
∴直线OB的解析式为:,直线CD的解析式为:,
联立的方程组:,
解得 , 故点,
将B、E的坐标代入得:,解得:,
故这个“反比例平移函数”的表达式为,
故变换后的反比例函数表达式为,
故答案为:,;
(3)∵,,线段BE的中点为F,
∴,
由(2)可知:是的“反比例平移函数”,由向下左6个单位,向下2个单位可得,
∴点B与点E、点F与点O是平移的对应点,
所以存在点与所求点P对应,
如图,由反比例函数中心对称性,四边形PEQB为平行四边形.
四边形PEQB的面积为16,,
,
I.当点P在点B左侧时,设其对应点坐标为设,则在E点左侧,如图:简化构造矩形求面积得,
.
,解得:,而,
故,,故:,
点P的坐标为.
.当点P在点B右侧时,对应如图,同理可得点P的坐标为,
综上,点P的坐标为:或
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【题目】如图1,在中,,,点P、点Q同时从点B出发,点P以的速度沿运动,终点为C,点Q以的速度沿运动,当点P到达终点时两个点同时停止运动,设点P,Q出发t秒时,的面积为,已知y与t的函数关系的图象如图曲线OM和MN均为抛物线的一部分,给出以下结论:;曲线MN的解析式为;线段PQ的长度的最大值为;若与相似,则秒其中正确的是
A. B. C. D.
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【题目】在中,,,是线段上的点,是线段上的点,且.
(1)观察猜想
如图1,若点是线段的三等分点,则__________,___________.由此,我们猜想线段,,,之间满足的数量关系是_________.
(2)类比探究
将在平面内绕点按逆时针方向旋转一定的角度,连接,,,,猜想在旋转的过程中,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请仅就图2的情形给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)解决问题
将在平面内绕点自由旋转,若,请直接写出线段的最大值.
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【题目】反比函数的图象如图所示.
(1)求m的值;
(2)当x>﹣1时,y的取值范围是 ;
(3)当直线y2=﹣x与双曲线交于A、B两点(A在B的左边)时,结合图象,求出在什么范围时y2>y1?
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【题目】如图,一次函数y1=﹣x﹣1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,与反比例函数图象的一个交点为M(﹣2,m).
(1)求反比例函数的解析式;
(2)当y2>y1时,求x的取值范围;
(3)求点B到直线OM的距离.
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【题目】已知三地顺次在同-直线上,甲、乙两人均骑车从地出发,向地匀速行驶.甲比乙早出发分钟;甲到达地并休息了分钟后,乙追上了甲.甲、乙同时从地以各自原速继续向地行驶.当乙到达地后,乙立即掉头并提速为原速的倍按原路返回地,而甲也立即提速为原速的二倍继续向地行驶,到达地就停止.若甲、乙间的距离(米)与甲出发的时间(分)之间的函数关系如图所示,则下列说法错误的是( )
A.甲、乙提速前的速度分别为米/分、米/分.
B.两地相距米
C.甲从地到地共用时分钟
D.当甲到达地时,乙距地米
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【题目】涌泉镇是中国无核蜜桔之乡,已知某蜜桔种植大户冯大爷的蜜桔成本为2元/千克,如果在未来90天蜜桔的销售单价p(元/千克)与时间t(天)之间的函数关系式为p=,且蜜桔的日销量y(千克)与时间t(天)满足一次函数关系,其部分数据如下表所示:
时间t/天 | 1 | 10 | 20 | 40 | 70 | 90 |
日销售量y/千克 | 105 | 150 | 200 | 300 | 450 | 550 |
(1)求y与t之间的函数表达式;
(2)在未来90天的销售中,预测哪一天的日销售利润最大?最大日销售利润为多少元?
(3)在实际销售的后50天中,冯大爷决定每销售1千克蜜桔就捐赠n元利润(n<5)给留守儿童作为助学金,销售过程中冯大爷发现,恰好从第51天开始,和前一天相比,扣除捐赠后的日销售利润逐日减少,请求出n的取值范围.
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【题目】已知二次函数y=(a﹣1)x2+3ax+1图象上的四个点的坐标为(x1,m),(x2,m),(x3,n),(x4,n),其中m<n.下列结论可能正确的是( )
A.若a>,则 x1<x2<x3<x4
B.若a>,则 x4<x1<x2<x3
C.若a<﹣,则 x1<x3<x2<x4
D.若a<﹣,则 x3<x2<x1<x4
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