Question

4．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，对角线AC、BD交于点O，AO=CO，∠AOD=∠ADO，E是DC边的中点，下列结论中，错误的是（　　）

• A． OE=$\frac{1}{2}$AD
• B． OE=$\frac{1}{2}$OB
• C． OE=$\frac{1}{2}$OC
• D． OE=$\frac{1}{2}$BC

Answer 1

分析 根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得OE=$\frac{1}{2}$AD，根据等角对等边可得AO=AD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OB=OC=AO，然后作出判断即可．

解答 解：∵AO=CO，E是DC边的中点，
∴OE=$\frac{1}{2}$AD，
∵∠AOD=∠ADO，
∴AO=AD，
∵∠ABC=90°，AO=CO，
∴OB=OC=AO，
∴OE=$\frac{1}{2}$OB，OE=$\frac{1}{2}$OC，
只有∠BAC=30°时，BC=$\frac{1}{2}$AC=AO，OE=$\frac{1}{2}$BC．
所以，结论错误的是OE=$\frac{1}{2}$BC．
故选D．

点评 本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等角对等边的性质，熟记定理与各性质并准确识图是解题的关键．