Question

某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出．已知生产x只玩具熊猫的成本为R（元），售价每只为P（元），且R、P与x的关系式分别为R=500+30x，P=170-2x．
（1）当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元？
（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）等量关系为：售价P×销售数量x-生产x只玩具熊猫的成本=1750，把相关数值代入求解即可．
（2）设每天所获利润为W，根据题意可表示出w与x的二次函数关系，再根据二次函数最值的求法，求得最值即可．
解答：解：（1）∵生产x只玩具熊猫的成本为R（元），售价每只为P（元），且R，P与x的关系式分别为R=500+30x，P=170-2x，
∴（170-2x）x-（500+30x）=1750，
解得 x₁=25，x₂=45（大于每日最高产量为40只，舍去）．

（2）设每天所获利润为W，
由题意得，W=（170-2x）x-（500+30x）
=-2x²+140x-500
=-2（x²-70x）-500
=-2（x²-70x+35²-35²）-500
=-2（x²-70x+35²）+2×35²-500
=-2（x-35）²+1950．
当x=35时，W有最大值1950元．
答：当日产量为25只时，每日获得利润为1750元；要想获得最大利润，每天必须生产35个工艺品，最大利润为1950．
点评：此题考查了二次函数的应用，关键是得出等量关系：售价P×销售数量x-生产x只玩具熊猫的成本=利润，另外要求我们熟练掌握配方法求二次函数最值的应用．