Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE垂直平分线段AB，
（1）试找出图中相等的线段，并说明理由．
（2）若DE=1cm，BD=2cm，求AC的长．

Answer 1

解：（1）图中相等的线段有AD=BD，CD=DE，BE=AE=BC，
理由是：∵DE垂直平分线段AB，
∴DE是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵∠C=90°，
∴DC⊥BC，
∵DE⊥BA，BD平分∠ABC，
∴CD=DE，
由勾股定理得：BE²=BD²-DE²，BC²=BD²-CD²，
∴BE=BC，
∵E为AB中点，
∴AE=BE=BC；
（2）∵由（1）知DE=DC=1cm，BD=AD=2CM，
∴AC=AD+DC=3cm．
分析：（1）根据线段垂直平分线得出AD=BD，根据角平分线性质得出DE=CD，根据勾股定理得出BE²=BC²=BD²-CD²，推出BE=BC，根据线段中点得出AE=BE．
（2）根据（1）得出AD=BD=2，CD=DE=1，代入取出即可．
点评：本题考查了线段垂直平分线，角平分线，勾股定理等知识点，注意：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．角平分线上的点到角两边的距离相等．