Question

已知：如图，两个以O为圆心的同心圆，AB是大圆的直径，弦BC切小圆于点D，CE⊥AB，垂足为E，大圆的直径为25，小圆的直径为15米．求AE的长．

Answer 1

分析：要求AE的长，需作辅助线，连接OD和AC，根据题意利用勾股定理，在三角形ODB中，可求出BD，进而得到BC，同理在三角形ACB中，可求出AC，然后利用△ACE∽△ABC，通过比例线段，求出AE的长．

解答：解：连接OD、AC，
∵BC切小圆于点D
∴OD⊥BC
又∵OB=12.5，OD=7.5
∴BD=

12.52-7.52

=10
因此根据垂径定理知BC=20
在RT△ABC中，AC=

AB2-BC2

=

252-202

=15
又∵AB为圆的直径，且CE⊥AB，
∴∠ACB=∠CEB=90°，又∠ABC=∠CBE，
∴△ACE∽△ABC
∴

AC

AB

=

AE

AC

即

15

25

=

AE

15

∴AE=9．

点评：此题考查了相似的判定以及垂径定理、勾股定理的应用，难易适中．