Question

两只全等的直角三角板ABC和DEF重叠在一起，其中∠A=60°，AC=4．固定△ABC不动，将△DEF进行如下操作：

（1）如图 （1），将△DEF沿线段AB以1cm/s的速度向右平移（即D点在线段AB内移动），连接DC、CF、FB，显然，随着时间x的变化，四边形CDBF的形状在不断的变化，探究它的面积是否变化：如果变化，试用x的代数式表示四边形CDBF的面积S；如果不变，说明理由，并求出其面积．
（2）在备用图（2）中尝试解决：
①运动过程中四边形CDBF有可能是正方形吗？如果可能，求出x，如果没有简要说明理由．
②当x为何值时，四边形CDBF为菱形？说明理由．
（3）如图（3），在（2）②的情况下，将△DEF的D点固定，然后绕D点按顺时针方向旋转△DEF，连接AE，设∠AED=α，旋转的角度为β，
①当β=60°时，画出图形，并请你求出sinα的值．
②当0°≤β≤180°时，试写出sinα的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）过C作CG⊥AB于G，解直角三角形求出CG、AB，根据平移的性质得到CF∥AE，AD=CF，然后利用梯形的面积公式列式求解即可得到四边形CDBF的面积不变，为定值；
（2）①再求出AG，可得AG≠CG，从而得到CG≠CF，然后判断出四边形CDBF不可能是正方形；
②根据菱形的四条边都相等可得CD=CF，然后求出AD=CF求出AD=CD，从而判断出△ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得AD=AC，从而得解；
（3）①β=60°时，点B、F重合，解直角三角形求出AB、BC，即可得到DE、EF，再利用勾股定理列式求出AE，过点D作DG⊥AE于G，然后利用△AGD和△ABE相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出DG，再利用锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解；
②根据DE的长度不变可知当AD⊥DE是sinα的值最大，然后列式即可得解．
解答：解：（1）如图，过C作CG⊥AB于G，
∵∠A=60°，AC=4，
∴CG=AC•sin60°=4×=2，
AB=AC÷cos60°=4÷=8，
由平移的性质可得CF∥AE，AD=CF，
∴四边形CDBF的面积=（CF+BD）•CG，
=（AD+BD）•CG，
=AB•CG=×8×2，
=8，（不变为定值）；

（2）①∵AG=AC•cos60°=4×=2，
∴AG≠CG，
∴当点D运动到点G时，点C运动到点F，
CF=AG≠CG，
∴四边形CDBF不可能是正方形；
②∵四边形CDBF为菱形，
∴CD=CF，
又∵AD=CF，
∴AD=CD，
∵∠A=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AD=AC=4，
即x=4时，四边形CDBF为菱形；

（3）①当β=60°时，如图所示，
∵AB=8，BC=AC•tan60°=4，
∴DE=AB=8，EF=BC=4，
根据勾股定理，AE===4，
过点D作DG⊥AE于G，则△AGD∽△ABE，
∴=，
即=，
解得DG=，
∴sinα===；
②∵DE的长度不变，
∴当AD⊥DE时，sinα的值最大，
最大值为==．
点评：本题是几何变换综合题型，主要考查了平移变换的性质，解直角三角形，正方形的判定，菱形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，（3）难度稍大，根据DE的长度不变判断出∠AED所在的直角三角形是解题的关键．