Question

16．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，P为边AD上一动点，连接BP，把△ABP沿BP折叠，使A落在A′处，当△A′DC为等腰三角形时，AP的长为$\frac{2}{3}\sqrt{3}$或2．

Answer 1

分析 根据△A′DC为等腰三角形，分三种情况进行讨论：①A'D=A'C，②A'D=DC，③CA'=CD，分别求得AP的长，并判断是否符合题意．

解答 解：①如图，当A′D=A′C时，过A′作EF⊥AD，交DC于E，交AB于F，则EF垂直平分CD，EF垂直平分AB
∴A'A=A'B
由折叠得，AB=A'B，∠ABP=∠A'BP
∴△ABA'是等边三角形
∴∠ABP=30°
∴AP=$\frac{AB}{\sqrt{3}}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$；

②如图，当A'D=DC时，A'D=2
由折叠得，A'B=AB=2
∴A'B+A'D=2+2=4
连接BD，则Rt△ABD中，BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$
∴A'B+A'D＜BD（不合题意）
故这种情况不存在；

③如图，当CD=CA'时，CA'=2
由折叠得，A'B=AB=2
∴A'B+A'C=2+2=4
∴点A'落在BC上的中点处
此时，∠ABP=$\frac{1}{2}$∠ABA'=45°
∴AP=AB=2．
综上所述，当△A′DC为等腰三角形时，AP的长为$\frac{2}{3}\sqrt{3}$或2．

点评 本题以折叠问题为背景，主要考查了等腰三角形的性质，解决问题的关键是画出图形进行分类讨论，分类时注意不能重复，不能遗漏．