Question

函数y=kx+3-3k必过定点

（3，3）

，若其与函数y=

(x-1)2-1(x≤3) (x-5)2-1(x＞3)

的交点恰好有2个，则k的值为

k≥4或k≤-4

．

Answer 1

分析：把函数解析式整理成关于k的形式，然后根据定点与k无关，得到关于x的方程求解即可；
根据二次函数解析式分两段与一次函数联立整理成关于x的一元二次方程，然后利用根的判别式△结合图形分析解答即可．

解答：解：∵y=kx+3-3k=k（x-3）+3，
∴当x-3=0，即x=3时，不论k为何值，y=3，
故y=kx+3-3k必过定点（3，3）；

①联立

y=(x-1)2-1(x≤3) y=kx+3-3k

得，
（x-1）²-1=kx+3-3k，
整理得，x²-（k+2）x+3（k-1）=0，
△=（k+2）²-12（k-1）=（k-4）²≥0，
当k=4时，△=0只有一个根，
当k≠4时，△＞0有两个根，
∵x≤3，由图可知，
∴k≥4时，y=kx+3-3k与y=（x-1）²-1只有一个交点；
②联立

y=(x-5)2-1 y=kx+3-3k

得，
（x-5）²-1=kx+3-3k，
整理得，x²-（k+10）x+3（k+7）=0，
△=（k+10）²-12（k+7）=（k+4）²≥0，
当k=-4时，△=0只有一个根，
当k≠-4时，△＞0有两个根，
∵x＞3，由图可知，
∴k≤-4时，y=kx+3-3k与y=（x-5）²-1没有一个交点；
综上所述，k≥4时，y=kx+3-3k与y=（x-1）²-1有一个交点，与y=（x-5）²-1有一个交点，
k≤-4时，y=kx+3-3k与y=（x-5）²-1没有一个交点，与y=（x-1）²-1有两个交点，
所以，k≥4或k≤-4时，两函数只有两个交点．
故答案为：（3，3）；k≥4或k≤-4．

点评：本题考查了二次函数图象与一次函数图象上点的坐标特征，第一问整理成关于k的形式是解题的关键，第二问联立两函数解析式整理成关于x的一元二次方程，再利用根的判别式△与根的情况，结合图象求解，难度比较大．