Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，F为BE上的一点，连接CF并延长交AB于点M，MN⊥CM交射线AD于点N．

（1）如图1，当点F为BE中点时，求证：AM＝CE；

（2）如图2，若＝3时，求的值；

（3）若＝n（n≥3）时，请直接写出的值．（用含n的代数式表示）

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）5；（3）

【解析】

（1）由F为BE的中点，可得BF＝EF，因为四边形ABCD为矩形，可得∠BCE＝∠ABC＝90°，CF＝BF＝EF，∠FBC＝∠FCB，可推出△MBC≌△ECB，则可推导出AM＝CE．

（2）根据AB∥CD，可得＝3，设MB＝a，则EC＝DE＝3a，AB＝CD＝6a，根据＝3，可得BC＝AD＝2a，根据MN⊥CM，可推出△AMN∽△BCM，则可得，，推出AN＝，DN＝a，则＝5．

（3）同（2）的推导方法．

解：（1）∵F为BE的中点，

∴BF＝EF，

∵四边形ABCD为矩形，

∴∠BCE＝∠ABC＝90°，

∴CF＝BF＝EF，

∴∠FBC＝∠FCB，

∵BC＝CB，

∴△MBC≌△ECB（AAS），

∴BM＝EC＝DE，

∵AB＝CD，

∴BM＝AM，

∴AM＝CE．

（2）∵AB∥CD，

∴＝3，

设MB＝a，则EC＝DE＝3a，

∴AB＝CD＝6a，

∵＝3，

∴BC＝AD＝2a，

∵MN⊥CM，

∴△AMN∽△BCM，

∴，

∴，

∴AN＝，

DN＝a，

∴＝5．

（3）∵AB∥CD，

∴＝n，

设MB＝a，则EC＝DE＝an，

∴AB＝CD＝2an，

∵＝n，

∴BC＝AD＝2a，

∵MN⊥CM，

∴△AMN∽△BCM，

∴，

∴，

∴AN＝，

DN＝

∴．