分析 (1)由AC=BC,且OC⊥AB,利用三线合一得到O为AB中点,求出OB的长,确定出B坐标,从而得到P点坐标,将P与A坐标代入一次函数解析式求出k与b的值,确定出一次函数解析式,将P坐标代入反比例解析式求出m的值,即可确定出反比例解析式;
(2)根据图象可得,当kx+b-$\frac{m}{x}$>0时,x恒大于4;
(3)假设存在这样的D点,使四边形BCPD为菱形,如图所示,由一次函数解析式求出C坐标,得出直线BC斜率,求出过P且与BC平行的直线PD解析式,与反比例解析式联立求出D坐标,检验得到四边形BCPD为菱形,符合题意.
解答 解:(1)∵AC=BC,CO⊥AB,A(-4,0),
∴O为AB的中点,即OA=OB=4,
∴P(4,2),B(4,0),
将A(-4,0)与P(4,2)代入y=kx+b得:
$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{4k+b=2}\end{array}\right.$,
解得:k=$\frac{1}{4}$,b=1,
∴一次函数解析式为y=$\frac{1}{4}$x+1,
将P(4,2)代入反比例解析式得:m=8,即反比例解析式为y=$\frac{8}{x}$;
(2)根据图象可得,当kx+b-$\frac{m}{x}$>0时,
即kx+b>$\frac{m}{x}$,此时x>4;
(3)假设存在这样的D点,使四边形BCPD为菱形,如图所示,
对于一次函数y=$\frac{1}{4}$x+1,令x=0,得到y=1,即C(0,1),
∴直线BC的斜率为$\frac{0-1}{4-0}$=-$\frac{1}{4}$,
设过点P,且与BC平行的直线解析式为y-2=-$\frac{1}{4}$(x-4),即y=$\frac{-x+12}{4}$,
与反比例解析式联立得:
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{-x+12}{4}}\\{y=\frac{8}{x}}\end{array}\right.$,
消去y得:$\frac{-x+12}{4}$=$\frac{8}{x}$,
整理得:x2-12x+32=0,即(x-4)(x-8)=0,
解得:x=4(舍去)或x=8,
当x=8时,y=1,
∴D(8,1),
此时PD=$\sqrt{(4-8)^{2}+(2-1)^{2}}$=$\sqrt{17}$,BC=$\sqrt{(4-0)^{2}+(0-1)^{2}}$=$\sqrt{17}$,
即PD=BC,
∵PD∥BC,
∴四边形BCPD为平行四边形,
∵PC=$\sqrt{(4-0)^{2}+(2-1)^{2}}$=$\sqrt{17}$,即PC=BC,
∴四边形BCPD为菱形,满足题意,
则反比例函数图象上存在点D,使四边形BCPD为菱形,此时D坐标为(8,1).
点评 此题考查了反比例函数的综合应用,涉及的知识有:待定系数法确定函数解析式,一次函数与反比例函数的交点问题,坐标与图形性质,等腰三角形的性质,两点间的距离公式,两直线平行时斜率满足的关系,熟练掌握待定系数法求函数解析式是解答本题的关键,难度较大.
科目:初中数学 来源: 题型:填空题
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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