Question

9．如图，点P为直线y=kx+b与双曲线y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的交点，过点P作PB⊥x轴于点B，PB=2，直线y=kx+b与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点C，且AC=BC．
（1）求一次函数、反比例函数的解析式；
（2）当kx+b-$\frac{m}{x}$＞0时，根据图象直接写出自变量x的取值范围；
（3）若D为双曲线上一点，且满足四边形BCPD为菱形，请求出点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）由AC=BC，且OC⊥AB，利用三线合一得到O为AB中点，求出OB的长，确定出B坐标，从而得到P点坐标，将P与A坐标代入一次函数解析式求出k与b的值，确定出一次函数解析式，将P坐标代入反比例解析式求出m的值，即可确定出反比例解析式；
（2）根据图象可得，当kx+b-$\frac{m}{x}$＞0时，x恒大于4；
（3）假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，如图所示，由一次函数解析式求出C坐标，得出直线BC斜率，求出过P且与BC平行的直线PD解析式，与反比例解析式联立求出D坐标，检验得到四边形BCPD为菱形，符合题意．

解答 解：（1）∵AC=BC，CO⊥AB，A（-4，0），
∴O为AB的中点，即OA=OB=4，
∴P（4，2），B（4，0），
将A（-4，0）与P（4，2）代入y=kx+b得：
$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{4k+b=2}\end{array}\right.$，
解得：k=$\frac{1}{4}$，b=1，
∴一次函数解析式为y=$\frac{1}{4}$x+1，
将P（4，2）代入反比例解析式得：m=8，即反比例解析式为y=$\frac{8}{x}$；

（2）根据图象可得，当kx+b-$\frac{m}{x}$＞0时，
即kx+b＞$\frac{m}{x}$，此时x＞4；

（3）假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，如图所示，
对于一次函数y=$\frac{1}{4}$x+1，令x=0，得到y=1，即C（0，1），
∴直线BC的斜率为$\frac{0-1}{4-0}$=-$\frac{1}{4}$，
设过点P，且与BC平行的直线解析式为y-2=-$\frac{1}{4}$（x-4），即y=$\frac{-x+12}{4}$，
与反比例解析式联立得：
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{-x+12}{4}}\\{y=\frac{8}{x}}\end{array}\right.$，
消去y得：$\frac{-x+12}{4}$=$\frac{8}{x}$，
整理得：x²-12x+32=0，即（x-4）（x-8）=0，
解得：x=4（舍去）或x=8，
当x=8时，y=1，
∴D（8，1），
此时PD=$\sqrt{（4-8）^{2}+（2-1）^{2}}$=$\sqrt{17}$，BC=$\sqrt{（4-0）^{2}+（0-1）^{2}}$=$\sqrt{17}$，
即PD=BC，
∵PD∥BC，
∴四边形BCPD为平行四边形，
∵PC=$\sqrt{（4-0）^{2}+（2-1）^{2}}$=$\sqrt{17}$，即PC=BC，
∴四边形BCPD为菱形，满足题意，
则反比例函数图象上存在点D，使四边形BCPD为菱形，此时D坐标为（8，1）．

点评 此题考查了反比例函数的综合应用，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，两点间的距离公式，两直线平行时斜率满足的关系，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解答本题的关键，难度较大．