Question

已知抛物线y=x²-k的顶点为P，与x轴交于点A，B，且△ABP是正三角形，则k的值是

 

．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：数形结合

分析：根据抛物线y=x²-k的顶点为P，可直接求出P点的坐标，进而得出OP的长度，又因为△ABP是正三角形，得出∠OPB=30°，利用锐角三角函数即可求出OB的长度，得出B点的坐标，代入二次函数解析式即可求出k的值．

解答：解：∵抛物线y=x²-k的顶点为P，
∴P点的坐标为：（0，-k），
∴PO=k，
∵抛物线y=x²-k与x轴交于A、B两点，且△ABP是正三角形，
∴OA=OB，∠OPB=30°，
∴tan30°=

OB

OP

=

OB

k

，
∴OB=

3

3

k，
∴点B的坐标为：（

3

3

k，0），点B在抛物线y=x²-k上，
∴将B点代入y=x²-k，得：
0=（

3

3

k）²-k，
整理得：

k2

3

-k=0，
解得：k₁=0（不合题意舍去），k₂=3．
故答案为：3．

点评：此题主要考查了二次函数顶点坐标的求法，以及正三角形的性质和锐角三角函数求值问题等知识，求出A或B点的坐标进而代入二次函数解析式是解决问题的关键．