Question

17．如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连结DF交BE的延长线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC．则以下四个结论中：①OH∥BF，②GH=$\frac{1}{4}$BC，③OD=$\frac{1}{2}$BF，④∠CHF=45°．正确结论的个数为（　　）

• A． 4个
• B． 3个
• C． 2个
• D． 1个

Answer 1

分析 ①只要证明OH是△DBF的中位线即可得出结论；
②根据OH是△BFD的中位线，得出GH=$\frac{1}{2}$CF，由GH＜$\frac{1}{4}$BC，可得出结论；
③易证得△ODH是等腰三角形，继而证得OD=$\frac{1}{2}$BF；
④根据四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线可求出Rt△BCE≌Rt△DCF，再由∠EBC=22.5°即可求出结论．

解答 解：∵EC=CF，∠BCE=∠DCF，BC=DC，
∴△BCE≌△DCF，
∴∠CBE=∠CDF，
∵∠CBE+∠BEC=90°，∠BEC=∠DEH，
∴∠DEH+∠CDF=90°，
∴∠BHD=∠BHF=90°，
∵BH=BH，∠HBD=∠HBF，
∴△BHD≌△BHF，
∴DH=HF，∵OD=OB
∴OH是△DBF的中位线
∴OH∥BF；故①正确；
∴OH=$\frac{1}{2}$BF，∠DOH=∠CBD=45°，
∵OH是△BFD的中位线，
∴DG=CG=$\frac{1}{2}$BC，GH=$\frac{1}{2}$CF，
∵CE=CF，
∴GH=$\frac{1}{2}$CF=$\frac{1}{2}$CE
∵CE＜CG=$\frac{1}{2}$BC，
∴GH＜$\frac{1}{4}$BC，故②错误．
∵四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线，
∴BC=CD，∠BCD=∠DCF，∠EBC=22.5°，
∵CE=CF，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF，
∴∠EBC=∠CDF=22.5°，
∴∠BFH=90°-∠CDF=90°-22.5°=67.5°，
∵OH是△DBF的中位线，CD⊥AF，
∴OH是CD的垂直平分线，
∴DH=CH，
∴∠CDF=∠DCH=22.5°，
∴∠HCF=90°-∠DCH=90°-22.5°=67.5°，
∴∠CHF=180°-∠HCF-∠BFH=180°-67.5°-67.5°=45°，故④正确；
∴∠ODH=∠BDC+∠CDF=67.5°，
∴∠OHD=180°-∠ODH-∠DOH=67.5°，
∴∠ODH=∠OHD，
∴OD=OH=$\frac{1}{2}$BF；故③正确．
故选B．

点评 此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质以及正方形的性质．解答此题的关键是作出辅助线，构造等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质结合角平分线的性质逐步解答．