Question

如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，点E、F分别是边AB、AC上的点，且EF∥BC．
（1）试说明△AEF是等腰三角形；
（2）试比较DE与DF的大小关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先利用等腰三角形的性质得到∠B=∠C，再结合平行线的性质得到∠AEF=∠AFE，利用等角对等边即可证得；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质证得AD是线段EF的垂直平分线，然后根据线段的垂直平分线的性质即可证得．

解答：解：（1）∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C．
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，即△AEF是等腰三角形；

（2）DE=DF．理由如下：
∵AD是等腰三角形ABC的底边上的高，
∴AD也是∠BAC的平分线．
又∵△AEF是等腰三角形，
∴AG是底边EF上的高和中线，
∴AD⊥EF，GE=GF，
∴AD是线段EF的垂直平分线，
∴DE=DF．

点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质，以及线段的垂直平分线的性质，正确证明AD是线段EF的垂直平分线是关键．