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已知直角坐标系中,一次函数y=-
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x+2的图象分别与x轴、y轴交于点A和点B,若以AB为腰的等腰△ABC的底角为30°,试求点C的坐标.
考点:一次函数综合题
专题:
分析:令x=0,y=0,求出一次函数y=-
3
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x+2的图象分别与x轴、y轴的交点A(2
3
,0
)和点B(0,2),结合图形求出AB=4,若以AB为腰的等腰△ABC的底角为30°,则顶角为120°,然后分两种情况讨论,①以点A为顶角顶点,②以点B为顶角顶点.进而求出点C的坐标.
解答:解:令x=0,得y=2,
∴B(0,2),
令y=0,得-
3
3
x+2=0,
解得:x=2
3

∴A(2
3
,0),
如图(1),
在Rt△AOB中,
由勾股定理得:AB=
OB2+OA2
=4,
在Rt△AOB中,
∵OB=2,AB=4,
∴OB=
1
2
AB,
∴∠BAO=30°,
∴∠ABO=60°,
∵以AB为腰的等腰△ABC的底角为30°,
∴顶角为120°,
分两种情况:
①如图(1),以点B为顶角顶点,作等腰三角形ABC1和等腰三角形ABC2
∵∠ABO=60°,∠ABC1=120°,
∴点C1在y轴上,点C2在x轴上,且BC1=BC2=AB=4,OC2=OA=2
3

∴C1(0,6),C2(-2
3
,0),

②如图(2)以点A为顶角顶点,作等腰三角形ABC3和等腰三角形ABC4
∵∠ABC3=30°=∠BAO,
∴BC3∥x轴,且BC3=2OA=4
3
,B、C3两点的纵坐标相同,
∴C3(4
3
,2),
∵∠BAC4=120°,∠BAO=30°,
∴∠OAC4=90°,
∵AC4=AB=4,
∴C4(2
3
,-4).

综上所述满足条件的点C有四个,分别是:
∴C1(0,6),C2(-2
3
,0),C3(4
3
,2),C4(2
3
,-4).
点评:此题考查了一次函数的综合应用,解题关键是:分两种情况讨论,①以点A为顶角顶点,②以点B为顶角顶点.进而求出点C的坐标.
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2
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2
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