Question

【题目】如图：等腰△ABC中，AB=AC,点D在AC右侧，∠BAC=∠BDC=120°

（1）猜想DA,DC,DB的数量关系并证明

（2）点D 在AB边左侧时三条线段关系是否发生变化？请画出图形。若变化，直接写出结论.

Answer 1

【答案】（1）DB=DC+AD，理由见解析；

（2）CD=BD +AD，理由见解析.

【解析】

（1）在BD上取点E使AE=AD，作AF⊥ED，根据等腰三角形的性质得到EF=FD，根据三角形内角和定理得到∠ABC=∠ACB=30°，根据圆周角定理得到∠ADE=∠ACB=30°，根据勾股定理得到DF=AD，证明△BAE≌△CAD，根据全等三角形的性质得到BE=CD，结合图形证明即可；

（2）结论：CD=AD+BD．在CD上取点M使AM=AD，作AN⊥DM，根据等腰三角形的性质得到DN=MN，根据三角形内角和定理得到∠ABC=∠ACB=30°，根据圆周角定理得到∠ADC=∠ABC=30°，根据勾股定理得到DN=AD，证明△DAB≌△MAC，根据全等三角形的性质得到BD=CM，结合图形证明即可.

（1）DB=DC+AD，

理由如下：在BD上取点E使AE=AD，作AF⊥ED，则EF=FD，

∵AB=AC，∠BAC=120°，

∴∠ABC=∠ACB=30°，

∵∠BAC=∠BDC=120°，

∴A，B，C，D四点共圆，

∴∠ADB=∠ACB=30°，

∴AF=AD，

∴DF=AD，

∴DE=AD，

∵∠BAC=120°，∠EAD=120°，

∴∠BAE=∠CAD，

在△BAE和△CAD中，，

∴△BAE≌△CAD（SAS）

∴BE=CD，

∴DB=BE+DE=DC+AD；

（2）如图：

CD=BD +AD，

理由：在CD上取点M使AM=AD，作AN⊥DM，则DN=MN，

∵AB=AC，∠BAC=120°，

∴∠ABC=∠ACB=30°，

∵∠BAC=∠BDC=120°，

∴A，B，C，D四点共圆，

∴∠ADC=∠ABC=30°，

∴AN=AD，

∴DN=AD，

∴DM=AD，

∵∠DAM=120°，∠BAC=120°，

∴∠DAB=∠MAC，

在△DAB和△MAC中，，

∴△DAB≌△MAC（SAS）

∴BD=CM，

∴DC=CM+DM=BD+AD.