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    如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=4，AD=CD=5，cot∠C=
    34
    ．点P在边BC上运动（点P不与点B、点C重合），一束光线从点A出发，沿AP的方向射出，经BC反射后，反射光线PE交射线CD于点E．
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    （1）当PE=CE时，求BP的长度；
    （2）当点E落在线段CD上时，设BP=x，DE=y，试求y与x之间的函数关系，并写出其定义域；
    （3）连接PD，若以点A、P、D为顶点的三角形与△PCE相似，试求BP的长度．
    分析：（1）先根据已知证明∠APB=∠C，再根据三角函数的知识得出PE=CE时，BP的长度；
    （2）延长PE与AD的延长线交于点F，根据平行线的性质即可得出与x之间的函数关系；
    （3）若△APD与△PCE相似，则有两种情况：（ⅰ）∠ADP=∠C时，△APD∽△PEC，根据相似三角形的性质得出BP的长度；（ⅱ）∠APD=∠C时，△APD∽△DCP，根据相似三角形的性质得出BP的长度．
    解答：精英家教网解：（1）根据已知，得BC=8，∠APB=∠EPC（1分）
    ∵PE=CE∴∠EPC=∠C
    ∴∠APB=∠C
    （方法一）∵cot∠C=
    3
    4
    ∴
    BP
    AB
    =
    3
    4
    （1分）
    ∵AB=4∴BP=3（1分）
    即BP=3时，PE=CE
    （方法二）∴AP∥DC
    ∴PC=AD=5（1分）
    ∴BP=3（1分）
    即BP=3时，PE=CE

    （2）延长PE与AD的延长线交于点F，
    ∵BP=x，
    ∵光线从点A出发，沿AP的方向射出，经BC反射，
    ∴PC=8-x，AF=2x（1分）精英家教网
    ∵DE=y，DC=AD=5，
    ∴EC=5-y，DF=2x-5
    ∵AF∥BC
    ∴
    DF
    PC
    =
    DE
    EC
    （1分）
    即
    2x-5
    8-x
    =
    y
    5-y
    （1分）
    ∴y=
    5(2x-5)
    x+3
    （1分）
    ∵点E在线段CD上
    ∴函数定义域为
    5
    2
    ≤x    ＜8（1分）

    （3）∵AD∥BC∴∠DAP=∠APB，
    ∵∠APB=∠EPC∴∠DAP=∠EPC（1分）
    若△APD与△PCE相似，则有如下两种情况：
    （ⅰ）∠ADP=∠C时，
    推出BP=2时，△APD∽△PEC；（2分）
    （ⅱ）∠APD=∠C时
    （法一）又∵∠ADP=∠DPC∴△APD∽△DCP
    ∴PD2=AD•PC
    ∵PD2=42+（5-x）2（1分）
    ∴16+（5-x）2=5（8-x）（1分）精英家教网
    解得x1，2=
    5±
    		21
    2
    ，经检验，均符合题意
    故x1，2=
    5±
    		21
    2
    时，△APD∽△PCE；（1分）
    ∴当BP为2，
    5±
    		21
    2
    时，△APD与△PCE相似．
    （法二）过点D作DH⊥AP于点H
    ∵∠DAP=∠APB∴
    AB
    AP
    =
    DH
    AD
    ，
    BP
    AP
    =
    AH
    AD

    ∵AP=
    		42+x2

    ∴DH=
    20
    		16+x2
    ，AH=
    5x
    		16+x2

    ∴HP=
    		16+x2
    -
    5x
    		16+x2
    （1分）
    ∵cot∠C=
    a
    ∴
    b
    4(
    		16+x2
    -
    5x
    		16+x2
    )=3•
    20
    		16+x2
    （1分）
    解得x=
    5+
    		21
    2
    ，或x=
    5-
    		21
    2
    ，
    故x=
    5±
    		21
    2
    时，△APD∽△PCE；（1分）
    ∴当BP为2，
    5±
    		21
    2
    时，△APD与△PCE相似．
    点评：本题主要考查了梯形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质以及函数知识的综合应用，要根据对应角的不同进行分类求解．
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    设△A1B1C1的面积是S1，△A2B2C2的面积为S2（S1＜S2），当△A1B1C1∽△A2B2C2，且0.3≤
    S1S2
    ≤0.4    时，则称△A1B1C1与△A2B2C2有一定的“全等度”．如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，∠B=30°，∠BCD=60°，连接AC．
    （1）若AD=DC，求证：△DAC与△ABC有一定的“全等度”；
    （2）你认为：△DAC与△ABC有一定的“全等度”正确吗？若正确，说明理由；若不正确，请举出一个反例说明．精英家教网

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=28cm，BC=28cm，点P从点A开始沿AB边向点B以3cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以1cm/s的速度移动，P，Q分别从A，B同时出发，当其中一精英家教网点到达终点时，另一点也随之停止．过Q作QD∥AB交AC于点D，连接PD，设运动时间为t秒时，四边形BQDP的面积为s．
    （1）用t的代数式表示QD的长．
    （2）求s关于t的函数解析式，并求出运动几秒梯形BQDP的面积最大？最大面积是多少？
    （3）连接QP，在运动过程中，能否使△DPQ为等腰三角形？若存在，求出t的值，若不存在，说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2007•遂宁）如图，已知等腰△ABC的面积为4cm2，点D、E分别是AB、AC边的中点，则梯形DBCE的面积为
    3
    3
     cm2．

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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    阅读理解

    （1）如图①，△ABC中，D是BC中点，连接AD，直接回答S△ABD与S△ADC相等吗？
    相等
    相等
    （S表示面积）；
    应用拓展
    （2）如图②，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE、EC，试利用上题得到的结论说明S△DEC=S△ADE+S△EBC；
    解决问题
    （3）现有一块如图③所示的梯形试验田，想种两种农作物做对比实验，用一条过D点的直线，将这块试验田分割成面积相等的两块，画出这条直线，并简单说明另一点的位置．

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