如图.在平面直角坐标系中.以A(1.1)为顶点的抛物线y=x2-2x+c与y轴交于点C.正方形ABCD的边CD与y轴重合.点P为第一象限内抛物线上的点且不与点A重合.过点P作PF∥x轴交y轴于点F.PE∥y轴交x轴于点E．设点P的横坐标为m.矩形PFOE与正方形ABCD重叠部分图形的周长为L．(1)c的值为2．(2)当矩形PFOE的面积被抛物线的对称轴平分时.求m� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

15．

如图，在平面直角坐标系中，以A（1，1）为顶点的抛物线y=x²-2x+c与y轴交于点C，正方形ABCD的边CD与y轴重合，点P为第一象限内抛物线上的点且不与点A重合，过点P作PF∥x轴交y轴于点F，PE∥y轴交x轴于点E．设点P的横坐标为m，矩形PFOE与正方形ABCD重叠部分图形的周长为L．
（1）c的值为2．
（2）当矩形PFOE的面积被抛物线的对称轴平分时，求m的值．
（3）当m＜2时，求L与m之间的函数关系式．
（4）设线段BD与矩形PFOE的边交于点Q，当△FDQ为等腰直角三角形时，直接写出m的取值范围．

分析（1）将点A（1，1）代入抛物线解析式即可求出c值；
（2）当矩形PFOE的面积被抛物线的对称轴平分时，点P、F关于抛物线的对称轴对称，由抛物线的顶点坐标即可得出抛物线的对称轴为x=1，结合点F的横坐标为0，即可得出m的值；
（3）由点P的横坐标为m，找出点P、F的坐标，由此即可得出PF、FD的长度，分0＜m＜1和1＜m＜1两种情况，根据矩形的周长公式即可得出L关于m的函数关系式；
（4）连接BD，由点B、D的坐标即可得出直线BD的函数解析式，联立直线BD与抛物线解析式成方程组，求出交点坐标，由此可分0＜m＜$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$、$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$≤m＜1、1＜m≤2以及m＞2四种情况考虑，结合正方形的性质以及等腰直角三角形的判定即可得出结论．

解答解：（1）将点A（1，1）代入y=x²-2x+c中，
得：1=1-2+c，解得：c=2．
故答案为：2．
（2）∵PE∥y轴，矩形PFOE的面积被抛物线的对称轴平分，
∴P、F点关于抛物线的对称轴对称，
∵抛物线的顶点坐标为（1，1），
∴抛物线的对称轴为x=1．
∵F点的横坐标为0，
∴m=2．
（3）∵点P的横坐标为m，点P为第一象限内抛物线上的点且不与点A重合，
∴P（m，m²-2m+2）（m＞0，且m≠1）．
∵四边形ABCD为正方形，且A（1，1），
∴D（0，1），B（1，2），F（0，m²-2m+2），
∴PF=m，FD=m²-2m+2-1=m²-2m+1．
根据点P在点A的左右不同分两种情况（如图1）：
当0＜m＜1时，L=2×（PF+FD）=2×（m+m²-2m+1）=2m²-2m+2；
当1＜m＜2时，L=2×（AD+FD）=2×（1+m²-2m+1）=2m²-4m+4．
（4）连接BD，如图2所示．
设直线BD的解析式为y=kx+b，
将D（0，1）、B（1，2）代入y=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{k+b=2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直线BD的解析式为y=x+1．
联立直线AB与抛物线解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y={x}^{2}-2x+2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}}\\{y=\frac{5-\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}}\\{y=\frac{5+\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$（舍去）．
当0＜m＜$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$时，若要△FDQ为等腰直角三角形，
只需FD=$\sqrt{2}$DQ=2PF，即m²-2m+1=4m，
解得：m=$\frac{5-\sqrt{21}}{2}$或m=$\frac{5+\sqrt{21}}{2}$（舍去），
∵$\frac{5-\sqrt{21}}{2}$＞$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，
∴此时，△FDQ不为等腰直角三角形；
当$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$≤m＜1时，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠FDQ=∠CDB=45°，
∵∠DFQ=90°，
∴△FDQ为等腰直角三角形；
当1＜m≤2时，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠FDQ=∠CDB=45°，
∵∠DFQ=90°，
∴△FDQ为等腰直角三角形；
当m＞2时，线段BD与矩形PFOE的边只有一个交点D，没有点Q，
∴不存在△FDQ．
综上可知：当△FDQ为等腰直角三角形时，m的取值范围为$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$≤m＜1和1＜m≤2．

点评本题考查了待定系数法求函数解析式、矩形的性质、矩形的周长、正方形的性质以及等腰直角三角形的判定，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出c；（2）根据对称性求出m；（3）分0＜m＜1和1＜m＜1两种情况，利用矩形的周长公式求出L关于m的函数关系式；（4）分0＜m＜$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$、$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$≤m＜1、1＜m≤2以及m＞2四种情况考虑．本题属于中档题，第（4）小问难度不小，在解决该问中，应充分考虑m的临界点，按$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$、1和2将整个m＞0分成四段来考虑．

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