Question

15．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作半圆⊙O与边BC交于点D，过D作半圆的切线与边AC交于点E，过E作EF∥AB，与BC交于点F．若AB=20，OF=7.5，则CD的长为（　　）

• A． 7
• B． 8
• C． 9
• D． 10

Answer 1

分析 连结AD，如图，先根据圆周角定理得到∠ADB=90°，再根据切线长定理得到ED=EA，则∠ADE=∠2，于是利用等角的余角相等得∠1=∠C，则AE=DE=CE，则可判断EF为△ABC的中位线，得到BF=CF，接着可判断OF为△ABC的中位线，得到OF∥AE，所以AE=OF=7.5，然后在Rt△ACD中，利用勾股定理计算出BC=25，再证明△CDA∽△CAB，于是利用相似比可计算出CD．

解答 解：连结AD，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠1+∠ADE=90°，∠2+∠C=90°，
∵DE为切线，
∴ED=EA，
∴∠ADE=∠2，
∴∠1=∠C，
∴ED=EC，
∴CE=AE，
∵EF∥AB，
∴EF为△ABC的中位线，
∴BF=CF，
而BO=AO，
∴OF为△ABC的中位线，
∴OF∥AE，
∴AE=OF=7.5，
∴AC=2AE=15，
在Rt△ACD中，BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{2{0}^{2}+1{5}^{2}}$=25，
∵∠DCA=∠ACB，
∴△CDA∽△CAB，
∴$\frac{CD}{AC}$=$\frac{AC}{BC}$，即$\frac{CD}{15}$=$\frac{15}{25}$，
∴CD=9．
故选C．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了相似三角形的判定与性质．