Question

阅读下列材料解答下列问题：
观察下列方程：①x+

2

x

=3；②x+

6

x

=5；③x+

12

x

=7
（1）按此规律写出关于x的第n个方程为

 

，此方程的解为

 

．
（2）根据上述结论，求出x+

n(n+1)

x-1

=2n+2(n≥2)的解．

Answer 1

分析：（1）通过观察可知，①②③3个方程只是分子有变化，且分子的变化有规律，2=1×2，6=2×3，12=3×4…，且3=2×1+1，5=2×2+1，7=2×3+1…，故可知第n个方程是x+

n(n+1)

x

=2n+1，方程两边同乘以x，化成整式方程解即可；
（2）先把所求方程化成x-1+

n(n+1)

x-1

=n+n+1，根据（1）即可求x₁=n+1，x₂=n+2，通过检验即可确定方程的解．

解答：解：（1）x+

n(n+1)

x

=2n+1，x₁=n，x₂=n+1，

（2）x-1+

n(n+1)

x-1

=n+n+1，
由（1）得x-1=n，x-1=n+1，
∴x₁=n+1，x₂=n+2，
经检验，x₁=n+1，x₂=n+2是原方程的解．

点评：本题考查了解分式方程、根据规律求解．（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．