Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（－8，0），直线BC经过点B（－8，6），C（0，6），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转α度（0＜α≤180°）得到四边形OA′B′C′，此时直线OA′、直线B′C′分别与直线BC相交于P、Q．

（1）四边形OABC的形状是               ，         ；
（2）①如图1，当四边形OA′B′C′的顶点B′落在y轴正半轴上时，求PQ的长；
②如图2，当四边形OA′B′C′的顶点B′落在直线BC上时，求PQ的长．
（3）小明在旋转中发现，当点P位于点B的右侧时，总存在线段PQ与线段        相等；同时存在着特殊情况，求出此时P点的坐标。

Answer 1

解：（1）矩形           （2）①PQ=7.5                             6分
② （3）OP         

试题分析：解：（1）∵O为坐标原点，点A的坐标为（-8，0），直线BC经过点B（-8，6），C（0，6），
∴OA=BC=8，OC=AB=6，∠AOA′=90°，
∴四边形OABC的形状是矩形；
当α=90°时，P与C重合，如右图，
根据题意，得BP/PQ=4/3，
则BP/BQ=4/7
（2）①如图1，∵∠POC=∠B'OA'，∠PCO=∠OA'B'=90°，
∴△COP∽△A'OB'，
∴CP/A1B=OC/OA1
，即CP/6=6/8
∴CP=4.5
同理△B'CQ∽△B'C'O，CQ/OC=B1C/B1C，即
∴CQ=3，
PQ=CP+CQ=7.5
②如图2，∵在△OCP和△B'A'P中，
△OCP≌△B'A'P（AAS），
∴OP=B'P，即OP=PQ，
设PQ=x．
在Rt△OCP中，（8-x）²+6²=x²，
解得x=25/4
故所求PQ的长为25/4；
（3）当点P位于点B的右侧时，总存在线段PQ与线段OP相等；同时存在着特殊情况BP=1/2BQ，此时点P的坐标是P（7/4，6）．理由如下：
如备用图，过点Q画QH⊥OA′于H，连接OQ，则QH=OC′=OC，∵S_△POQ=1/2PQ•OC，S_△POQ=1/2OP•QH，
∴PQ=OP．
设BP=x，
∵BP=1/2BQ，
∴BQ=2x，
∵点P在点B右侧，
∴OP=PQ=BQ-BP=x，PC=8-x．
在Rt△PCO中，（8-x）²+6²=x²，
解得x=25/4．
点评：本题考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理．特别注意在旋转的过程中的对应线段相等，能够用一个未知数表示同一个直角三角形的未知边，根据勾股定理列方程求解．