Question

两抛物线y=x²+2ax+b²和y=x²+2cx-b²与x轴交于同一点（非原点），且a、b、c是正数，a≠c，试判断以a、b、c为边的三角形的形状．

Answer 1

分析：求出x²+2ax+b²=0的两个根x₁，x₂；再求出方程x²+2cx-b²=0的两根x₃，x₄；分四种情况进行计算即可作出判断：①x₁=x₃，②x₂=x₄，③x₁=x₄，④x₂=x₃．

解答：解：解方程x²+2ax+b²=0得，
x₁=

-2a+ (2a)2-4b2

2

=-a+

a2-b2

，
x₂=

-2a- (2a)2-4b2

2

=-a-

a2-b2

，
解方程x²+2cx-b²=0得，
x₃=

-2c+ (2c)2+4b2

2

=-c+

c2+b2

，
x₄=

-2c- (2c)2+4b2

2

=-c-

c2+b2

．
∵两抛物线y=x²+2ax+b²和y=x²+2cx-b²与x轴交于同一点，
∴方程x²+2ax+b²=0和x²+2cx-b²=0有一个相同的根，
∴①x₁=x₃，-a+

a2-b2

=-c+

c2+b2

；
移项得，c-a=

c2+b2

-

a2-b2

，
∵a≠c，
两边平方得，c²+a²-2ac=c²+b²+a²-b²-2

c2+b2

•

a2-b2

，
整理得，ac=

c2+b2

•

a2-b2

，
两边平方得，a²c²=（c²-b²）（a²-b²），
整理得，c²+b²=a²．
根据勾股定理的逆定理，可知此三角形为直角三角形．
同理，②x₂=x₄时，得相同结果；
③x₁=x₄时，解得，等式不成立；
④x₂=x₃时，解得，等式不成立．
故三角形为直角三角形．

点评：此题考查了抛物线与x轴的交点与二次函数与一元二次方程的关系，求出方程的解，列出等式，是解题的关键．解答时要注意分类讨论．