Question

【题目】在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与x轴交于点B，C，与y轴交于点A，点A的坐标为(0，)，点D为抛物线的顶点．

(1)如图1，求拋物线的顶点D的坐标；

(2)如图2，点P是第一象限内对称轴右侧拋物线上一点，连接PB，过点D作DQ⊥BP于点H，交x轴于点Q，设点P的横坐标为m，点Q的横坐标为n，求n与m的函数关系式；

(3)如图3，在(2)的条件下，过点C作CE∥y轴交BP的延长线于点E，点F为CE的中点，连接FQ，若∠DQC+∠CQF＝135°，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】(1)D(1，2)；(2)n＝4﹣m；(3)P(，)．

【解析】

（1）将点A代入抛物线解析式可求出a，抛物线解析式和顶点D可求．

（2）分别过点D、P作x轴的垂线，可得到三角形相似，用点坐标转换线段长度，列比例关系就可以得到m和n的函数关系．

（3）用点坐标转换为线段长度，可以得到相关线段的长度相等，从而得到全等三角形及相似三角形，列比例关系就可以得到点P的坐标．

(1)将点A(0，)代入抛物线中，

﹣3a＝，

解得a＝﹣，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+，

∵﹣＝1，解得y＝2，

∴D(1，2)．

(2)如图1所示，过点D作DH垂直于x轴于点H，过点P作PN垂直于x轴于点N，

∴DH＝2，QH＝n﹣1，PN＝，BN＝m+1，

∵△BPN∽△DHQ，

∴，即，

解得n＝4﹣m．

(3)如图2所示，

∵D(1，2)，Q(4﹣m，0)，C(3，0)B(﹣1，0)，

∴BN＝2，DN＝2，NQ＝3﹣m，

∵∠BNG＝∠DNQ，∠NDQ＝∠GBN，

∴△BGN≌△DNQ(ASA)，

∴GN＝NQ＝3﹣m，

连接GQ，

∴∠GQN＝45°，

∵∠DQC+∠FQC＝135°，

∴∠GQD＝∠FQC，

∵DG＝m﹣1，

过点P作y轴的平行线PM，过点D作x轴的平行线交MP于点M，连接MG，

∴MD＝m﹣1，

∴MD＝DG，

∴∠DGM＝45°，

∵∠NGQ＝45°，

∴∠MGQ＝90°，

∴∠MGP＝∠GQD＝∠FQC，

连接GF，GF∥BC，

∴∠GFQ＝∠FQC＝∠MGP，∠FGQ＝∠GMP＝45°，

∴△GMP∽△GQF，

∴，

∵,，

∴，

解得m1＝1(舍)，m2＝，

∴m＝，

∴P(，)．