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如图,已知△ABC中,∠BAC=90゜,AB=AC,点P为BC边上一动点(BP<CP),分别过B、C作BE⊥AP于E,CF⊥AP于F.
(1)求证:EF=CF-BE.
(2)若点P为BC延长线上一点,其它条件不变,则线段BE、CF、EF是否存在某种确定的数量关系?画图并直接写出你的结论.

解:(1)证明:∵BE⊥AP,CF⊥AP,
∴∠AEB=∠AFC=90°.
∴∠FAC+∠ACF=90°,
∵∠BAC=90°,
∴∠BAE+∠FAC=90°,
∴∠BAE=∠ACF.
在△ABE和△CAF中,

∴△ABE≌△CAF(AAS),
∴AE=CF,BE=AF.
∵EF=AE-AF,
∴EF=CF-BE;
(2)EF=BE+CF
理由:∵BE⊥AP,CF⊥AP,
∴∠AEB=∠AFC=90°.
∴∠FAC+∠ACF=90°,
∵∠BAC=90°,
∴∠BAE+∠FAC=90°,
∴∠BAE=∠ACF.
在△ABE和△CAF中,

∴△ABE≌△CAF(AAS),
∴AE=CF,BE=AF.
∵EF=AE+AF,
∴EF=BE+CF.
分析:(1)由BE⊥AP,CF⊥AP可以得出∠AEB=∠AFC=90°,根据∠BAC=90°就可以求出∠BAE=∠ACF,就可以得出△ABE≌△CAF,而得出AE=CF,BE=AF得出结论;
(2)如图2,同样由BE⊥AP,CF⊥AP可以得出∠AEB=∠AFC=90°,根据∠BAC=90°就可以求出∠BAE=∠ACF,就可以得出△ABE≌△CAF,而得出AE=CF,BE=AF得出结论EF=BE+CF.
点评:本题考查了等腰直角三角形的性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,直角三角形的性质的运用.解答时证明三角形全等是解答本题的关键.
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精英家教网如图,已知△ABC中,AB=AC,E、F分别在AB、AC上且AE=CF.
求证:EF≥
12
BC.

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