如图.抛物线y=-x2+bx+c经过点A(4.1).与y轴交于点B.直线l经过点D.且平行于x轴.过点A作AE⊥l.垂足为E．(1)求抛物线及直线AB的解析式,(2)若点P是在直线AB上方的抛物线上一点.是否存在点P使四边形PBDA的面积最大.如果存在.求出四边形PBDA的面积的最大值.并求出此时点P的坐标,如果不存在.请说明理由．(3)点M是抛物线在对称轴右边部分上的一点.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，抛物线y=-x²+bx+c经过点A（4，1），与y轴交于点B（0，-1），直线l经过点D（0，-2），且平行于x轴，过点A作AE⊥l，垂足为E．
（1）求抛物线及直线AB的解析式；
（2）若点P是在直线AB上方的抛物线上一点，是否存在点P使四边形PBDA的面积最大，如果存在，求出四边形PBDA的面积的最大值，并求出此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）点M是抛物线在对称轴右边部分上的一点，直线MN平行于y轴交直线AB于N，如果以M、N、A、E为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式求出b、c的值，即可得解；设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），然后利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）求出△ABD的面积是定值判断出△ABP的面积越大，四边形PBDA的面积越大，过点P作PF∥y轴交AB于F，设点P的横坐标为x，根据直线解析式和抛物线解析式表示出PF，然后根据S_△ABP=S_△BPF+S_△APF列式整理，再根据二次函数的最值问题解答；
（3）设点M的横坐标为m，根据（2）写出MN的表达式，再根据平行四边形的对边相等可得MN=AE，然后解方程求出m，再代入抛物线解析式求出点M的纵坐标，即可得解．

解答：解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c经过点A（4，1），B（0，-1），
∴

-16+4b+c=1

c=-1

，
解得

c=-1

．
∴抛物线解析式为y=-x²+

x-1；
设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵直线AB经过点A（4，1），B（0，-1），
∴

4k+b=1

b=-1

，
解得

b=-1

，
∴直线AB的解析式为y=

x-1；

（2）∵B（0，-1），D（0，-2），A（4，1），
∴BD=-1-（-2）=1，点A到BD的距离为4，
∴S_△ABD=

×1×4=2，

∵S_{四边形PBDA}=S_△ABD+S_△APB，
∴△ABP的面积越大，四边形PBDA的面积越大，
过点P作PF∥y轴交AB于F，设点P的横坐标为x，
则PF=-x²+

x-1-（

x-1）=-x²+4x，
∴S_△ABP=S_△BPF+S_△APF，
=

×（-x²+4x）×4，
=-2（x-2）²+8，
∴当x=2时，S_△ABP有最大值8，
x=2时，y=-2²+

×2-1=-4+9-1=4，
S_{四边形PBDA}=S_△ABD+S_△APB=2+8=10，
故存在点P（2，4），使四边形PBDA的面积最大为10；

（3）设点M的横坐标为m，由（2）知MN=-m²+4m，

∵以M、N、A、E为顶点的四边形是平行四边形，
∴MN=AE=1-（-2）=3，
∴-m²+4m=3或-m²+4m=-3，
整理得，m²-4m+3=0或m²-4m-3=0
解得m₁=1，m₂=3或m=2±

，
∵点M是抛物线在对称轴右边部分上的一点，抛物线的对称轴为直线x=-

2×(-1)

，
∴m＞

，
∴m=3或m=2+

，
∴-3²+

×3-1=

，-（2+

）²+

×（2+

）-1=-3+

，
∴以M、N、A、E为顶点的四边形是平行四边形时，点M的坐标为（3，

）或（2+

，-3+

）．

点评：本题是二次函数综合题，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的最值问题，平行四边形的对边平行，根据直线AB的解析式与抛物线的解析式表示出平行于y轴的线段的长度是解题的关键，也是本题的难点．

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