如图.抛物线y=-$\frac{1}{4}$x2-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{4}$与x轴交于A.C两点．直线y=kx+b分别交x轴.y轴于A.B两点.且除了点A之外.该直线与抛物线没有其它任何交点．(1)求A.C两点的坐标,(2)求k.b的值,(3)设点P是抛物线上的动点.过点P作直线kx+b的垂线.垂足为H.交抛物线的对称轴于点D.求PH+DH的最小值．� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

7．

如图，抛物线y=-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{4}$与x轴交于A，C两点（点A在点C的左边）．直线y=kx+b（k≠0）分别交x轴，y轴于A，B两点，且除了点A之外，该直线与抛物线没有其它任何交点．
（1）求A，C两点的坐标；
（2）求k，b的值；
（3）设点P是抛物线上的动点，过点P作直线kx+b（k≠0）的垂线，垂足为H，交抛物线的对称轴于点D，求PH+DH的最小值．并求出此时点P的坐标．

分析（1）把y=0代入抛物线的解析式，解方程可得A、C的坐标；
（2）把A点的坐标代入直线解析式中得：b=3k，由该直线与抛物线只有一个交点得：抛物线和直线的解析式列方程组，△=0，可得k的值，从而计算b的值；
（3）过P作x轴的平行线交直线AB于F，交对称轴于G，根据△AOB是等腰直角三角形可得：PH+DH=HF+HE=EF=$\sqrt{2}$EG，也就是PH+DH的最小值，就是取决于EG的长短，当G在抛物线的顶点时，EG最小为1，可得结论．

解答解：（1）y=-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{4}$，
当y=0时，-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{4}$=0，
x²+2x-3=0，
（x+3）（x-1）=0，
x=-3或1，
∵点A在点C的左边，
∴A（-3，0），C（1，0）；
（2）把A（-3，0）代入y=kx+b中得：-3k+b=0，
b=3k，
∴直线AB解析式为：y=kx+3k，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+3k}\\{y=-\frac{1}{4}{x}^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
-$\frac{1}{4}{x}^{2}$-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{4}$=kx+3k，
x²+（4k+2）x+12k-3=0，
△=（4k+2）²-4（12k-3）=0，
k=1，
∴直线AB解析式为：y=x+3，
∴B（0，3），
即k=1，b=3；
（3）如图1，对称轴：x=-$\frac{-\frac{1}{2}}{2×（-\frac{1}{4}）}$=-1，
∴对称轴与直线AB的交点E（-1，2），
过P作x轴的平行线交直线AB于F，交对称轴于G，
∵OA=OB=3，∠AOB=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠ABO=∠BAO=45°，
∴PH=HF，DH=HE，
∴PH+DH=HF+HE=EF=$\sqrt{2}$EG，
当EG最小时，PH+DH有最小值，
∴如图2，当G、P、D三点重合，位于抛物线的顶点（-1，1）时，EG最小=2-1=1，
即PH+DH的最小值=$\sqrt{2}$．

点评本题考查了函数与坐标轴的交点、利用图象上点的坐标求解析式中的字母系数、函数与方程组解的关系及线段和的最值问题，第三问有难度，确定最值时点P的位置是关键．

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