Question

【题目】在直角坐标系xoy中，已知点P（0， ），曲线C的参数方程为 （φ为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ= ． （Ⅰ）判断点P与直线l的位置关系并说明理由；
（Ⅱ）设直线l与曲线C的两个交点分别为A，B，求 + 的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）点P在直线l上，理由如下： 直线l：ρ= ，即 = ，亦即 = ，
∴直线l的直角坐标方程为： x+y= ，易知点P在直线l上．
（Ⅱ）由题意，可得直线l的参数方程为 （t为参数），曲线C的普通方程为 =1．
将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，得5t2+12t﹣4=0，
设两根为t1 ， t2 ，
∴t1+t2=﹣ ，t1t2=﹣ ，
∴|PA|+|PB|=|t1﹣t2|= = ，
∴ + = = = ．
【解析】（Ⅰ）点P在直线l上，理由如下：直线l：ρ= ，展开可得 = ，可得直线l的直角坐标方程即可验证．（Ⅱ）由题意，可得直线l的参数方程为 （t为参数），曲线C的普通方程为 =1．将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，得5t2+12t﹣4=0，可得|PA|+|PB|=|t1﹣t2|= ，即可得出．