Question

已知关于x的一元二次方程x² = 2（1－m）x－m² 的两实数根为x₁，x₂．
（1）求m的取值范围；
（2）设y = x₁ + x₂，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．

Answer 1

（1）将原方程整理为 x² + 2（m－1）x + m² = 0．
∵ 原方程有两个实数根，
∴ △=" [" 2（m－1）²－4m²=－8m + 4≥0，得 m≤．
（2） ∵ x₁，x₂为x² + 2（m－1）x + m² = 0的两根，
∴ y = x₁ + x₂ =－2m + 2，且m≤．
因而y随m的增大而减小，故当m =时，取得极小值1．

（1）若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b²-4ac≥0，建立关于m的不等式，可求出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出x₁+x₂的表达式，进而可得出y、m的函数关系式，根据函数的性质及（1）题得出的自变量的取值范围，即可求出y的最小值及对应的m值．