Question

3．如图，等边△OAB和等边△AFE的一边都在x轴上，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）经过边OB的中点C和AE中点D，已知等边△OAB的边长为8．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求等边△AFE的周长．

Answer 1

分析 （1）过C作CM⊥OA，根据锐角三角函数的定义求出CM及OM的长，代入反比例函数的解析式即可得出结论；
（2）过点D作DH⊥AF，垂足为点H，设AH=a（a＞0）．在Rt△DAH中，根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半可得出AD=2AH=2a，由勾股定理得出DH的长，再根据点D在第一象限，可得出D点坐标，再由点D在反比例函数y=$\frac{4\sqrt{3}}{x}$的图象上，可以把把x=8+a，y=$\sqrt{3}$a代入反比例函数解析式求出a的值，再根据点D是AE中点即可得出结论．

解答 解：（1）过C作CM⊥OA，
∵△OAB为边长为8的等边三角形，C为OB中点，
∴OC=4，∠BOA=60°，
在Rt△OCM中，CM=OC•sin60°=2$\sqrt{3}$，OM=OC•cos60°=2，
∴C（2，2$\sqrt{3}$），
代入反比例解析式得：k=4$\sqrt{3}$，
则反比例解析式为y=$\frac{4\sqrt{3}}{x}$；

（2）过点D作DH⊥AF，垂足为点H，设AH=a（a＞0）．
在Rt△DAH中，
∵∠DAH=60°，
∴∠ADH=30°．
∴AD=2AH=2a，
由勾股定理得：DH=$\sqrt{3}$a．
∵点D在第一象限，
∴点D的坐标为（8+a，$\sqrt{3}$a）．
∵点D在反比例函数y=$\frac{4\sqrt{3}}{x}$的图象上，
∴把x=8+a，y=$\sqrt{3}$a代入反比例函数解析式，
解得 a=2$\sqrt{5}$-4 （a=-2$\sqrt{5}$-4＜0不符题意，舍去）．
∵点D是AE中点，
∴等边△AFE的边长为8$\sqrt{5}$-16，
∴△AEF的周长=24$\sqrt{5}$-48．

点评 本题考查的是待定系数法求反比例函数的解析式，熟知反比例函数图象上点的坐标特点，勾股定理及等边三角形的性质是解答此题的关键．