Question

14．如图，点P为⊙0外一点，PC与⊙0相切于点C，PO的延长线交⊙0于E，⊙0的半径为3，PC=4，求CE的长．

Answer 1

分析 设PO交⊙O于F，连接CF．根据勾股定理得PO=25，则PE=40．证明△PCF∽△PEC，得CF：CE=PC：PE=1：2．根据勾股定理求解CE．

解答 解：如图所示：连接OC、CF．

∵CP是圆O的切线，
∴∠OCP=90°．
∴OP=$\sqrt{O{C}^{2}+C{P}^{2}}$=5．
∴PE=8．
∵⊙O与PC相切于点C，
∴∠PCF=∠E．
又∵∠CPF=∠EPC，
∴△PCF∽△PEC，
∴CF：CE=PC：PE=4：8=1：2．
∵EF是直径，
∴∠ECF=90°．
设CF=x，则EC=2x．
则x²+（2x）²=6²，
解得x=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．
∴CE=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题主要考查的是切线的性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，证得CF：CE=1：2是解题的关键．