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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y=-
    4
    9
    x2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D．
    （1）求抛物线的函数解析式；
    （2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，△CPQ的面积为S．
    ①求S关于m的函数表达式；
    ②当S最大时，在抛物线y=-
    4
    9
    x2+bx+c的对称轴l上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）将A、C两点坐标代入抛物线y=-
    4
    9
    x2+bx+c，即可求得抛物线的解析式；
    （2）①先用m表示出QE的长度，进而求出三角形的面积S关于m的函数；
    ②直接写出满足条件的F点的坐标即可，注意不要漏写．
    解答：解：（1）将A、C两点坐标代入抛物线，得
    c=8
    -
    4
    9
    ×36+6b+c=0
    ，
    解得：
    b=
    4
    3
    c=8
    ，
    ∴抛物线的解析式为y=-
    4
    9
    x2+
    4
    3
    x+8；

    （2）①∵OA=8，OC=6，
    ∴AC=
    		OA2+OC2
    =10，
    过点Q作QE⊥BC与E点，则sin∠ACB=
    QE
    QC
    =
    AB
    AC
    =
    3
    5
    ，
    ∴
    QE
    10-m
    =
    3
    5
    ，
    ∴QE=
    3
    5
    （10-m），
    ∴S=
    1
    2
    •CP•QE=
    1
    2
    m×
    3
    5
    （10-m）=-
    3
    10
    m2+3m；

    ②∵S=
    1
    2
    •CP•QE=
    1
    2
    m×
    3
    5
    （10-m）=-
    3
    10
    m2+3m=-
    3
    10
    （m-5）2+
    15
    2
    ，
    ∴当m=5时，S取最大值；
    在抛物线对称轴l上存在点F，使△FDQ为直角三角形，
    ∵抛物线的解析式为y=-
    4
    9
    x2+
    4
    3
    x+8的对称轴为x=
    3
    2
    ，
    D的坐标为（3，8），Q（3，4），
    当∠FDQ=90°时，F1（
    3
    2
    ，8），
    当∠FQD=90°时，则F2（
    3
    2
    ，4），
    当∠DFQ=90°时，设F（
    3
    2
    ，n），
    则FD2+FQ2=DQ2，
    即
    9
    4
    +（8-n）2+
    9
    4
    +（n-4）2=16，
    解得：n=6±
    		7
    2
    ，
    ∴F3（
    3
    2
    ，6+
    		7
    2
    ），F4（
    3
    2
    ，6-
    		7
    2
    ），
    满足条件的点F共有四个，坐标分别为
    F1（
    3
    2
    ，8），F2（
    3
    2
    ，4），F3（
    3
    2
    ，6+
    		7
    2
    ），F4（
    3
    2
    ，6-
    		7
    2
    ）．
    点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的解析式的求法抛物线的最值等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为A（4，0）、C（0，2），D为OA的中点．设点这P是∠AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）．
    （1）填空：无论点P运动到何处，PC
     
    PD（填“＞”、“＜”或“=”）；
    （2）当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过O、P、D三点的抛物线的解析式；
    （3）设点E是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，△PDE的周长最小？求精英家教网出此时点P的坐标和△PDE的周长．

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    （1）试证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等；
    （2）当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过O、P、D三点的抛物线的解析式；
    （3）设点E是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，△PDE的周长最小？求出此时点P的坐标和△PDE的周长；
    （4）设点N是矩形OABC的对称中心，是否存在点P，使∠CPN=90°？若存在，请直接写出点P的坐标．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在矩形OABC中，AB∥x轴．函数y=
    1x
    (x＞0)    的图象分别交AB、BC边于P、Q两点，且P是精英家教网AB的中点，设点P的横坐标为a．
    （1）用含a的代数式表示点Q的坐标．
    （2）试说明点Q是BC的中点．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•莆田质检）如图，在矩形OABC中，OA、OC两边分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OC=2，过OA边上的D点，沿着BD翻折△ABD，点A恰好落在BC边上的点E处，反比例函数y=
    kx
    （k＞0）在第一象限上的图象经过点E与BD相交于点F．
    （1）求证：四边形ABED是正方形；
    （2）点F是否为正方形ABED的中心？请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•永春县质检）如图，在矩形OABC中，点A、C的坐标分别是（a，0），（0，
    		3
    ），点D是线段BC上的动点（与B、C不重合），过点D作直线l：y=-
    		3
    x+b    交线段OA于点E．
    （1）直接写出矩形OABC的面积（用含a的代数式表示）；
    （2）已知a=3，当直线l将矩形OABC分成周长相等的两部分时
    ①求b的值；
    ②梯形ABDE的内部有一点P，当⊙P与AB、AE、ED都相切时，求⊙P的半径．
    （3）已知a=5，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，设CD=k，当k满足什么条件时，使矩形OABC和四边形O1A1B1C1的重叠部分的面积为定值，并求出该定值．

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