Question

8．如图，点B（4，4）在双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，点C在双曲线y=-$\frac{8}{x}$（x＜0）上，点A是x轴上一动点，连接BC、AC、AB．

（1）如图1，当BC∥x轴时，△ABC的面积；
（2）如图2，当点A运动到x轴正半轴时，如△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，求点A的坐标．

Answer 1

分析 （1）由BC∥x轴，可得出B、C的纵坐标相等，由此即可得出点C的坐标，再由三角形的面积公式即可得出结论；
（2）过点C作CD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，则可证出△CAD≌△ABE，由此即可得出关于m、n的方程组，解方程组即可得出m、n的值，由此即可得出点A的坐标．

解答 解：（1）BC∥x轴，
∴B、C的纵坐标相等．
∵令y=-$\frac{8}{x}$中y=4，则-$\frac{8}{x}$=4，
解得：x=-2，
∴点C（-2，4）．
S_△ABC=$\frac{1}{2}$×[4-（-2）]×4=12．
（2）过点C作CD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，如图所示．
设点A坐标为（m，0）（m＞0），点C（n，-$\frac{8}{n}$）（n＜0），
∵∠BAC=90°，
∴∠CAD+∠BAE=90°，∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠CAD=∠ABE．
在△CAD和△ABE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠ABE}\\{∠CDA=∠AEB=90°}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△CAD≌△ABE（AAS），
∴CD=AE，AD=BE．
∴$\left\{\begin{array}{l}{m-n=4}\\{4-m=-\frac{8}{n}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=4-2\sqrt{2}}\\{n=-2\sqrt{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=4+2\sqrt{2}}\\{n=2\sqrt{2}}\end{array}\right.$（舍去），
故点A的坐标为（4-2$\sqrt{2}$，0）．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标、三角形的面积公式以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）找出点C的坐标；（2）找出关于m、n的方程组．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的性质得出相等的边角关系是关键．